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CHAPITRE XXIX.

Les corrections sont expliquées en page de discussion

Ces solutions asymptotiques du second système seraient des courbes spirales analogues aux courbes (1), mais s’enroulant en sens contraire. Elles ne sont pas représentées sur la figure.

Dans le cas d’une solution instable de la deuxième catégorie, les courbes (1) présenteraient un aspect tout différent ; elles viendraient recouper une infinité de fois la trajectoire fermée $(\mathrm {T} )$ et les points d’intersection formeraient un ensemble infini présentant un nombre fini, d’ailleurs pair, de points limites. Ces points limites correspondraient aux valeurs $t_{0},$ $t_{1}$ envisagées dans le n^o 349.

357.Revenons aux solutions instables de la première catégorie et aux solutions asymptotiques du premier système représentées sur la figure (11). Je me propose d’établir que l’action est moindre pour $(\mathrm {T} )$ que pour toute courbe fermée infiniment voisine.

Je considère une courbe fermée quelconque infiniment peu différente de $(\mathrm {T} ).$ Cette courbe, que j’appellerai $(\mathrm {T} '),$ est représentée sur la figure (11) par une courbe fermée en trait plein extérieure à $(\mathrm {T} )$ et passant par les points $\mathrm {C}$ et $\mathrm {B} _{3}.$

Bornons-nous d’abord au cas du mouvement absolu. Dans ce cas nous avons le théorème suivant bien connu :

Soient $\mathrm {A} _{1}\mathrm {B} _{1},$ $\mathrm {A} _{2}\mathrm {B} _{2},\,\ldots$ $\mathrm {A} _{n}\mathrm {B} _{n},$ une série continue d’arcs de trajectoires.

Les extrémités de ces arcs se trouvent sur deux courbes

\mathrm {A} _{1}\mathrm {A} _{2}\ldots \mathrm {A} _{n},\quad \mathrm {B} _{1}\mathrm {B} _{2}\ldots \mathrm {B} _{n}.

Si ces deux courbes coupent orthogonalement les trajectoires $\mathrm {A} _{1}\mathrm {B} _{1},$ $\mathrm {A} _{2}\mathrm {B} _{2},\,\ldots$ $\mathrm {A} _{n}\mathrm {B} _{n},$ on aura

(\mathrm {A} _{1}\mathrm {B} _{1})=(\mathrm {A} _{2}\mathrm {B} _{2})=\ldots (\mathrm {A} _{n}\mathrm {B} _{n}),

en désignant toujours par $(\mathrm {A} _{1}\mathrm {B} _{1})$ l’action correspondant à l’arc $\mathrm {A} _{1}\mathrm {B} _{1}.$

Construisons donc les trajectoires orthogonales des courbes (1). Ces trajectoires que j’appellerai les courbes (2) auront pour équation différentielle

(3)

\left\{{\begin{aligned}&\left({\frac {d\Phi ^{2}}{dt^{2}}}\!+\!{\frac {d\Psi ^{2}}{dt^{2}}}\right)\,dt\\+&\left({\frac {d\Phi }{dt}}{\frac {d\Phi }{du}}\!+\!{\frac {d\Psi }{dt}}{\frac {d\Psi }{du}}\right)(du\!+\!\alpha u\,dt)+\left({\frac {d\Phi ^{2}}{du^{2}}}\!+\!{\frac {d\Psi ^{2}}{du^{2}}}\right)\alpha u\,du=0.\end{aligned}}\right.