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DIVERSES FORMES DU PRINCIPE DE MOINDRE ACTION.
Les équations des variations seront
(2 bis)
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L’équation des forces vives étant encore vraie, il en sera de
même de
(3)
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Posons encore
![{\displaystyle \theta =\xi y'-\eta x',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/322b86ec8d1ecb1fe34e5685f9449926d61907e9)
les équations (5) et (6) subsisteront.
D’autre part, comme
et
doivent satisfaire aux équations (2 bis), on aura
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}x'''-2\omega y''&={\frac {d^{2}\mathrm {U} }{dx^{2}}}\,x'&&+{\frac {d^{2}\mathrm {U} }{dx\,dy}}\,y',\\y'''+2\omega x''&={\frac {d^{2}\mathrm {U} }{dx\,dy}}\,x'&&+{\frac {d^{2}\mathrm {U} }{dy^{2}}}\,y'.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4ccdd8857874f33d561e3861689be0f8d020222)
En tenant compte de ces équations ainsi que des équations (2 bis),
et en tenant compte également de l’équation (3), on peut simplifier
l’expression de
et l’on retrouve l’équation
(7)
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Comme l’identité du numéro précédent est toujours vraie, on
retrouvera les équations (8) et (9) ; il n’y a donc rien à changer
aux conclusions du numéro précédent.
355.Mais une nouvelle question se pose.
La trajectoire
est une courbe fermée ; nous avons jusqu’à
présent cherché à déterminer si un arc
de cette courbe correspondait
à une action plus petite que tout arc infiniment voisin
ayant mêmes extrémités.
Mais nous pouvons également nous demander si cette courbe
fermée tout entière correspond à une action plus petite que toute
courbe fermée infiniment petite.
Supposons d’abord qu’un point
de la courbe
ait son