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DIVERSES FORMES DU PRINCIPE DE MOINDRE ACTION.
Les équations des variations seront
(2 bis)
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L’équation des forces vives étant encore vraie, il en sera de
même de
(3)
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Posons encore
les équations (5) et (6) subsisteront.
D’autre part, comme et doivent satisfaire aux équations (2 bis), on aura
En tenant compte de ces équations ainsi que des équations (2 bis),
et en tenant compte également de l’équation (3), on peut simplifier
l’expression de et l’on retrouve l’équation
(7)
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Comme l’identité du numéro précédent est toujours vraie, on
retrouvera les équations (8) et (9) ; il n’y a donc rien à changer
aux conclusions du numéro précédent.
355.Mais une nouvelle question se pose.
La trajectoire est une courbe fermée ; nous avons jusqu’à
présent cherché à déterminer si un arc de cette courbe correspondait
à une action plus petite que tout arc infiniment voisin
ayant mêmes extrémités.
Mais nous pouvons également nous demander si cette courbe
fermée tout entière correspond à une action plus petite que toute
courbe fermée infiniment petite.
Supposons d’abord qu’un point de la courbe ait son