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CHAPITRE XXIX.

valeurs ainsi trouvées et les dérivées $\xi ''$ et $\eta ''$ par leurs valeurs (2), il viendra

(7)

$\theta ''-\theta \,\Delta \mathrm {U} =2(\xi 'y''-\eta 'x'').$

Je désigne par $\Delta \mathrm {U}$ (ou plus brièvement par $\Delta$) la somme des deux dérivées secondes ${\frac {d^{2}\mathrm {U} }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {U} }{dy^{2}}}\cdot$

Il est aisé de vérifier l’identité suivante

${\begin{aligned}2(&x'^{2}\!+y'^{2})(\xi 'y''\!-\eta 'x'')\\&-2(x'x''\!+y'y'')(\xi y''\!-\eta x''\!+\xi 'y'\!-\eta 'x')+2(x''^{2}\!+y''^{2})(\xi y'\!-\eta x')\\&=2(y''x'\!-y'x'')(\xi 'x'\!+\eta 'y'\!-\xi x''\!-\eta y''),\end{aligned}}$

ou, en tenant compte de (5), (6), (7) et (3),

(8)

$(x'^{2}+y'^{2})(\theta ''-\theta \Delta )-2(x'x''+y'y'')\theta '+2(x''^{2}+y''^{2})\theta =0.$

Telle est l’équation différentielle qui définit la fonction inconnue $\theta$.

Nous poserons

$\theta =\varphi {\sqrt {x'^{2}\!+y'^{2}}}$

et notre équation deviendra

(9)

${\frac {\varphi ''}{\varphi }}=\Delta -{\frac {x'x'''+y'y'''+3x''^{2}+3y''^{2}}{x'^{2}+y'^{2}}},$

équation de même forme que l’équation (2) du numéro précédent. Les conclusions du numéro précédent subsistent donc ; une solution périodique instable est de la seconde ou de la première catégorie selon que la fonction $\varphi$ peut ou non s’annuler. On ne peut passer directement d’une solution instable de la première catégorie une solution instable de la seconde, mais seulement en passant par des solutions stables.

354.Les mêmes résultats subsistent-ils encore dans le cas du mouvement relatif ? Les équations du mouvement deviennent alors

(1 bis)

${\begin{aligned}x''-2\omega y'&={\frac {d\mathrm {U} }{dx}},&y''+2\omega x'&={\frac {d\mathrm {U} }{dy}},\end{aligned}}$

$\omega$ désignant la vitesse de rotation des axes mobiles.