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CHAPITRE XXVIII.

Donc, le premier facteur de la relation (2) doit s’annuler, et l’on a

$\mathrm {Y} _{n}-\eta _{n}-2m_{n}\pi =0.$

En d’autres termes, les équations (1 bis) entraînent les équations (1). Nous pouvons donc regarder $\mathrm {S} _{mp}$ comme fonction des variables (β) : et, quand elle sera maxima, comme fonction des variables (β), elle sera également maxima comme fonction des variables (α).

J’ai appelé $\xi _{i}^{0}$ et $\eta _{i}^{0}$ les valeurs de $\xi _{i}$ et de $\eta _{i}$ qui correspondent à la solution périodique de période $\mathrm {T} \,;$ les valeurs correspondantes de $\mathrm {X} _{i}+\xi _{i}$ et $\mathrm {Y} _{i}+\eta _{i}$ seront $2\xi _{i}^{0}$ et $2\eta _{i}^{0}+2m_{i}mp\pi$ (si la solution périodique de période $\mathrm {T}$ change $y_{i}$ en $y_{i}+2m_{i}\pi ,$ conformément aux hypothèses du n^o 322). Soit $\mathrm {S} _{0}$ la valeur correspondante de $\mathrm {S} _{mp}\,;$ posons

${\begin{aligned}\mu &=\mu _{0}+\mu '\,;&\mathrm {V} &=\mathrm {S} _{mp}-\mathrm {S} _{0}\,;&\mathrm {X} _{i}+\xi _{i}&=2\xi _{i}^{0}+\xi _{i}',\end{aligned}}$

$\mathrm {Y} _{i}+\eta _{i}=2\eta _{i}^{0}+2m_{i}mp\mathrm {T} +\eta _{i}'$

et considérons $\mathrm {V}$ comme fonction de $\mu ',$ des $\xi '$ et des $\eta '\,;$ la fonction $\mathrm {V}$ se trouvera dans les mêmes conditions que la fonction $\mathrm {V}$ du numéro précédent.

En effet, quel que soit $\mu ',$ $\mathrm {V}$ et ses dérivées premières par rapport aux $\xi '$ et aux $\eta '$ s’annulent quand

$\xi _{i}'=\eta _{i}'=0.$

Si l’on envisage l’ensemble des termes du second degré de $\mathrm {V}$ par rapport aux $\xi '$ et aux $\eta '$ et qu’on le considère comme une forme quadratique décomposée en une somme de carrés, on voit que deux de ces coefficients de ces carrés passent tous deux du négatif au positif, ou tous deux du positif au négatif quand $\mu$ change de signe, et que les autres coefficients ne s’annulent pas.

Et en effet l’expression

${\frac {\mathrm {M} _{1}}{\sqrt {-1}}}\sin {\frac {pm\alpha _{1}\mathrm {T} }{\sqrt {-1}}}$

change de signe et les autres expressions

${\frac {\mathrm {M} _{k}}{\sqrt {-1}}}\sin {\frac {pm\alpha _{k}\mathrm {T} }{\sqrt {-1}}}$