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SOLUTIONS PÉRIODIQUES DU DEUXIÈME GENRE.

ensuite que toutes les quantités

${\frac {\mathrm {M} _{k}}{\sqrt {-1}}}\sin {\frac {\alpha _{k}\mathrm {T} }{\sqrt {-1}}},\quad -\mathrm {NT}$

soient de même signe.

Si l’on considère la constante des forces vives comme une donnée de la question, $\mathrm {D}$ est nul, le terme $-\mathrm {NTD} ^{2}$ disparaît et il suffit que les quantités

${\frac {\mathrm {M} _{k}}{\sqrt {-1}}}\sin {\frac {\alpha _{k}\mathrm {T} }{\sqrt {-1}}}$

soient toutes de même signe.

327.Qu’arrive-t-il maintenant si les équations admettent d’autres intégrales uniformes que celle des forces vives et si, par conséquent, quelques-uns des exposants caractéristiques sont nuls ?

On pourrait néanmoins faire une discussion analogue à celle qui précède.

Supposons, par exemple, que nos équations admettent, outre l’intégrale des forces vives, $p$ autres intégrales uniformes :

$\mathrm {F} _{1},\quad \mathrm {F} _{2},\quad \dots ,\quad \mathrm {F} _{p},$

et de telle façon que les crochets deux à deux $[\mathrm {F} _{i},\,\mathrm {F} _{k}]$ de ces intégrales soient nuls. Nous savons alors par le n^o 69 que $2p+2$ exposants caractéristiques sont nuls. Nous supposerons que tous les autres exposants sont différents de zéro.

Nous aurons alors $n-p-1$ couples de constantes analogues aux constantes $\mathrm {A} _{k}$ et $\mathrm {B} _{k}$ et $p+1$ couples de constantes $\mathrm {C} _{k}$ et $\mathrm {D} _{k}$ analogues aux constantes $\mathrm {C}$ et $\mathrm {D} .$

La forme (3) deviendrait alors

$\sum \mathrm {M} _{k}\left(e^{-\alpha _{k}\mathrm {T} }-e^{\alpha _{k}\mathrm {T} }\right)\mathrm {A} _{k}\mathrm {B} _{k}-\sum \mathrm {N} _{k}\mathrm {TD} _{k}^{2},$

où $\textstyle \sum \mathrm {N} _{k}\mathrm {TD} _{k}^{2}$ est une somme de termes analogues au terme $\mathrm {NTD} ^{2}.$

Si maintenant nous regardons les valeurs de nos $p+1$ intégrales comme des données de la question, les constantes $\mathrm {D} _{k}$ seront toutes nulles, les termes $\mathrm {N} _{k}\mathrm {TD} _{k}^{2}$ disparaîtront et la condition pour que $\mathrm {S}$ soit maximum ou minimum sera encore que