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CHAPITRE XXVIII.
3o
et
et
sont imaginaires conjugués quand
est
complexe et imaginaire conjugué de
Enfin
et
sont réels.
Ces conditions sont d’ailleurs suffisantes pour que
et
soient
réelles.
Donnons aux constantes
de même qu’aux constantes
des valeurs satisfaisant à ces conditions.
Alors le second membre de (2) devra être réel ; et pour qu’il en
soit ainsi il faut :
1o Que
soit réel si
est réel ;
2o Que
soit purement imaginaire si
est purement imaginaire ;
3o Que
et
soient imaginaires conjugués si
et
sont
complexes et imaginaires conjugués.
La forme (3) contient un terme
![{\displaystyle \mathrm {M} _{k}\left(e^{-\alpha _{k}\mathrm {T} }-e^{\alpha _{k}\mathrm {T} }\right)\mathrm {A} _{k}\mathrm {B} _{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/068a714f1e24deee14cf2a7a291db307bed18761)
et ne contient pas d’autre terme dépendant de
ou ![{\displaystyle \mathrm {B} _{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dc4abb94d3e615a2c966e8ffed61af5655a7528)
Si l’exposant
est réel, la présence d’un terme en
suffit
pour que la forme quadratique (3) ne puisse être définie.
Si donc un seul des exposants
est réel, la fonction
ne peut
présenter ni maximum ni minimum.
Supposons maintenant que deux exposants
et
soient complexes
et imaginaires conjugués.
Annulons toutes les constantes sauf
![{\displaystyle \mathrm {A} _{k},\quad \mathrm {B} _{k},\quad \mathrm {A} _{j},\quad \mathrm {B} _{j},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00d089eb414f4ece1db511c78881bdf4d7bf5613)
la forme (3) se réduit à
![{\displaystyle \mathrm {M} _{k}\left(e^{-\alpha _{k}\mathrm {T} }-e^{\alpha _{k}\mathrm {T} }\right)\mathrm {A} _{k}\mathrm {B} _{k}+\mathrm {M} _{j}\left(e^{-\alpha _{j}\mathrm {T} }-e^{\alpha _{j}\mathrm {T} }\right)\mathrm {A} _{j}\mathrm {B} _{j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07c56cfc2a837a3a1316b9bb6e5c90007fee5b11)
Ces deux termes sont imaginaires conjugués, de sorte que la
forme (3) est réelle.
Supposons que
ne change pas et que
change de signe ;
qui est imaginaire conjugué de
ne changera pas non plus,
et
qui est imaginaire conjugué de
se changera en
Donc, la forme (3) changera de signe ; elle ne peut donc être
définie.
Si donc un seul des exposants
est complexe, la fonction
ne peut avoir ni maximum ni minimum.