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CHAPITRE XXVIII.
nant l’un des déterminants
![{\displaystyle {\begin{array}{c}\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{j}'-\mathrm {A} _{j}\mathrm {A} _{k}',\quad \mathrm {A} _{k}\mathrm {B} _{j}'-\mathrm {B} _{j}\mathrm {A} _{k}',\quad \mathrm {B} _{k}\mathrm {B} _{j}'-\mathrm {B} _{j}\mathrm {B} _{k}',\\\mathrm {A} _{k}\mathrm {C} '-\mathrm {CA} _{k}',\quad \mathrm {A} _{k}\mathrm {D} '-\mathrm {DA} _{k}',\quad \mathrm {B} _{k}\mathrm {C} '-\mathrm {CB} _{k}',\quad \mathrm {B} _{k}\mathrm {D} '-\mathrm {DB} _{k}',\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed02cf23c0f46fbcc3b89a49882998d8e9a0760e)
car le coefficient de ce terme devrait contenir en facteur l’une des
exponentielles
![{\displaystyle e^{(\alpha _{k}+\alpha _{j})t},\quad e^{(\alpha _{k}-\alpha _{j})t},\quad e^{-(\alpha _{k}+\alpha _{j})t},\quad e^{\pm \alpha _{k}t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adf8f821b7542d075dad60d29e03f3191ed95e54)
et ne pourrait se réduire à une constante.
Les seuls déterminants qui puissent entrer dans notre forme
sont donc
![{\displaystyle \mathrm {A} _{k}\mathrm {B} _{k}'-\mathrm {B} _{k}\mathrm {A} _{k}',\quad \mathrm {CD} '-\mathrm {DC} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b1d2a4435252002ef7c9ec8602aa761a0a22a0b)
de sorte que je puis écrire
(2)
|
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les
et
étant des.constantes.
Je dis que
ne peut être nul ; sans quoi l’expression (1) ne
dépendrait pas des constantes
si alors nous
supposions que toutes les constantes
et
et
sont nulles à
l’exception des deux constantes
et
auxquelles nous attribuerions
des valeurs données, différentes de zéro, on aurait une
relation
![{\displaystyle \sum \left(x_{i}''y_{i}'-x_{i}'y_{i}''\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1d8448df8e523e4c8b138062dbfd1515a5b2a0)
qui serait linéaire par rapport aux inconnues
et
et où les
coefficients
et
seraient des fonctions données du temps,
différentes de zéro. Une pareille relation ne peut exister puisque
les
variables
et
sont indépendantes. Donc
ne peut
être nul.
Si nous changeons
en
nous obtiendrons de nouvelles
solutions des équations aux variations et ces solutions nouvelles
s’obtiendront en changeant les constantes
![{\displaystyle \mathrm {A} _{k},\quad \mathrm {B} _{k},\quad \mathrm {C} ,\quad \mathrm {D} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2722cff693aa3eea90fa7d4bd7e473f847d72da)
en
![{\displaystyle \mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{k}\mathrm {T} },\quad \mathrm {B} _{k}e^{-\alpha _{k}\mathrm {T} },\quad \mathrm {C} +\mathrm {DT} ,\quad \mathrm {D} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32a2a174faca6309204cdb144781376f1e5c2662)
Pour avoir
![{\displaystyle \sum \left(\mathrm {X} _{i}'\eta _{i}'-\mathrm {Y} _{i}'\xi _{i}'\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4796c0166d8ac215a128b7789ce88a76e137d20)
il suffira donc de faire dans l’expression (1),
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} _{k}'&=\mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{k}\mathrm {T} },&\mathrm {B} _{k}'&=\mathrm {B} _{k}e^{-\alpha _{k}\mathrm {T} },&\mathrm {C} '&=\mathrm {C} +\mathrm {DT} ,&\mathrm {D} '&=\mathrm {D} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a919a3323ee02733310d4945c1ce78c923c4f67a)