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CHAPITRE XXVIII.

une solution périodique de période $\mathrm {T} ,$ de telle sorte que

${\begin{aligned}\varphi _{i}(0)&=\varphi _{i}(\mathrm {T} ),&\varphi _{i}'(0)&=\varphi _{i}'(\mathrm {T} ).\end{aligned}}$

À cette solution pourra correspondre un maximum ou un minimum de la fonction $\mathrm {S} .$

Soient

${\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t)+x_{i}',&y_{i}&=\varphi _{i}'(t)+y_{i}',\\x_{i}&=\varphi _{i}(t)+x_{i}'',&y_{i}&=\varphi _{i}'(t)+y_{i}''\end{aligned}}$

deux solutions très peu différentes de cette solution périodique.

Je supposerai que $x_{i}',\,y_{i}',\,x_{i}'',\,y_{i}''$ soient assez petits pour qu’on puisse en négliger les carrés et qu’on puisse regarder ces quantités comme satisfaisant aux équations aux variations (Cf. Chapitre IV).

Soient $\xi _{i}'$ et $\eta _{i}'$ les valeurs de $x_{i}'$ et $y_{i}'$ pour $t=0\,;$ $\mathrm {X} _{i}'$ et $\mathrm {Y} _{i}'$ les valeurs de $x_{i}'$ et $y_{i}'$ pour $t=\mathrm {T} .$

Pour savoir si $\mathrm {S}$ a un maximum ou un minimum, il suffit d’étudier l’ensemble des termes du second degré dans le développement de $\mathrm {S}$ suivant les puissances des $\xi _{i}'$ et des $\eta _{i}'.$

Or il est aisé de reconnaître que cet ensemble de termes se réduit à

$\sum \left(\mathrm {X} _{i}'\eta _{i}'-\mathrm {Y} _{i}'\xi _{i}'\right).$

Étudions l’expression

(1)

$\sum \left(x_{i}''y_{i}'-y_{i}''x_{i}'\right).$

D’après le n^o 56, cette expression doit se réduire à une constante.

Quelle est la forme de la solution générale des équations aux variations.

S’il y a $n$ degrés de liberté, nous aurons $n-1$ solutions particulières de la forme

${\begin{aligned}x_{i}'&=e^{\alpha _{k}t}\theta _{k.i}(t),&y_{i}'&=e^{\alpha _{k}t}\theta _{k.i}'(t).\end{aligned}}$

Les $\alpha _{k}$ sont les exposants caractéristiques et les $\theta$ sont des fonctions périodiques de période $\mathrm {T} .$

Nous aurons $n-1$ autres solutions de la forme

${\begin{aligned}x_{i}'&=e^{-\alpha _{k}t}\theta _{k.i}''(t),&y_{i}'&=e^{-\alpha _{k}t}\theta _{k.i}'''(t)\end{aligned}}$

correspondant aux exposants $-\alpha k$ qui sont égaux et de signe contraire aux $n-1$ exposants $\alpha _{k}.$