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CHAPITRE XXVIII.
une solution périodique de période de telle sorte que
À cette solution pourra correspondre un maximum ou un minimum
de la fonction
Soient
deux solutions très peu différentes de cette solution périodique.
Je supposerai que soient assez petits pour qu’on
puisse en négliger les carrés et qu’on puisse regarder ces quantités
comme satisfaisant aux équations aux variations (Cf. Chapitre IV).
Soient et les valeurs de et pour et les
valeurs de et pour
Pour savoir si a un maximum ou un minimum, il suffit d’étudier
l’ensemble des termes du second degré dans le développement
de suivant les puissances des et des
Or il est aisé de reconnaître que cet ensemble de termes se
réduit à
Étudions l’expression
(1)
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D’après le no 56, cette expression doit se réduire à une constante.
Quelle est la forme de la solution générale des équations aux
variations.
S’il y a degrés de liberté, nous aurons solutions particulières
de la forme
Les sont les exposants caractéristiques et les sont des fonctions
périodiques de période
Nous aurons autres solutions de la forme
correspondant aux exposants qui sont égaux et de signe
contraire aux exposants