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SOLUTIONS PÉRIODIQUES DU DEUXIÈME GENRE.

Nous pouvons en effet, sans restreindre la généralité, et pour la même raison qu’au n^o 316, supposer $\beta _{1}=0.$

Nous obtiendrons ainsi le système

(3 ter)

$\psi _{i}=0;\qquad \mathrm {F} =\mathrm {C} _{0},\qquad \beta _{1}=0.$

Ces équations représentent une courbe ; en effet, le nombre des équations est égal à $n-2\,;$ mais les $n$ équations (3) ne sont pas distinctes et peuvent être remplacées par $n-1$ d’entre elles et cela pour la même raison qu’au numéro précédent. Le système (3 ter) se réduit ainsi à $n+1$ équations. Le nombre des variables est $n+2,$ à savoir

$\beta _{1},\quad \beta _{2},\quad \ldots ,,\quad \beta _{n},\quad \tau ,\quad \mu .$

Cette courbe (3 ter) comprend la droite

(4)

$\beta _{1}=0.$

Soit $\beta _{i}=0,\,\mu =\mu _{0}$ un point de cette droite. Pour que, par ce point, passe une autre branche de courbe, il faut que le jacobien des premiers membres des équations (3 ter) soit nul, ou, ce qui revient au même, que le jacobien de $n-1$ des $\psi$ et de $\mathrm {F}$ par rapport à $\beta _{1},$ $\beta _{2},\,\ldots ,$ $\beta _{n}$ et $\tau$ soit nul, ou enfin, puisque rien ne distingue $\beta _{1}$ des autres $\beta ,$ que les jacobiens de $\mathrm {F}$ et de $n-1$ quelconques des $\psi$ par rapport à $\tau$ et à $n-1$ quelconques des $\beta$ soient tous nuls.

Cette condition est susceptible d’un autre énoncé.

Comme dans le numéro précédent, de l’équation $\mathrm {F} =\mathrm {C} _{0}$ nous tirerons

$x_{n}=\theta (x_{1},x_{2},\ldots x_{n-1}),$

et nous obtiendrons les équations

(1 bis)

${\frac {dx_{i}}{dt}}=\mathrm {X} _{i}'\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n-1).$

Il faut alors, d’après le n^o 316, que des $n-1$ exposants caractéristiques [si la solution périodique est regardée comme appartenant aux équations (1 bis)], un soit nul et un autre multiple de ${\frac {2i\pi }{k\,\mathrm {T} }}\,;$ ou, ce qui revient au même, que des $n$ exposants caractéristiques [si la solution périodique est regardée comme appar-