Cette condition n’est d’ailleurs pas suffisante, comme nous le verrons plus loin, pour que par le point passent plusieurs branches de courbe réelles.
Formons le déterminant des par rapport aux ajoutons à tous les termes de la diagonale principale et égalons à zéro le déterminant ainsi obtenu. Nous obtiendrons ainsi l’équation connue sous le nom d’équation en
Les racines de cette équation (Cf. no 60) sont
étant l’un des exposants caractéristiques des équations (1).
Pour que le déterminant fonctionnel soit nul il faut et il suffit qu’une des racines soit nulle ; on doit donc avoir
ce qui veut dire que soit un multiple de
Donc, pour que par le point passent plusieurs branches de courbe, il faut que l’un des exposants caractéristiques soit multiple de
315.Cette condition n’est pas suffisante et une discussion plus complète est nécessaire.
Posons
et cherchons à développer les suivant les puissances entières ou fractionnaires de
Nous supposons que le jacobien des par rapport aux est nul ; ce jacobien s’annule pour mais ne sera pas en général identiquement nul ; il faudrait pour cela que l’un des exposants caractéristiques fût constant, indépendant de et égal à un multiple de
Nous supposerons donc que le jacobien s’annule pour mais que sa dérivée, par rapport à ne s’annule pas.
De même, nous supposerons d’abord que les mineurs du premier ordre de ce jacobien ne s’annulent pas tous à la fois.
Dans ce cas, en vertu du théorème du no 30, de des