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CHAPITRE IV.
Équation qui définit ces exposants.
60.Reprenons les équations (1) du numéro précédent ; considérons
une solution quelconque
![{\displaystyle x_{i}=\varphi _{i}(t)+\xi _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83399e2d64485832efa52bfd7d9bed458370a29d)
Soit
la période de la solution périodique génératrice
soit
la valeur de
pour
et
la valeur de
pour
Comme les
s’annulent avec les
et sont développables suivant
les puissances croissantes des
nous pouvons écrire, par la formule
de Taylor,
![{\displaystyle \psi _{i}={\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{1}}}\beta _{1}+{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{2}}}\beta _{2}+\ldots +{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{n}}}\beta _{n}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/411ca511c2992c779b25ae4329291441820a1339)
Si la solution considérée diffère assez peu de la solution périodique
pour qu’on puisse négliger les carrés des
on pourra également
négliger les carrés des
et il restera
![{\displaystyle \psi _{i}={\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{1}}}\beta _{1}+{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{2}}}\beta _{2}+\ldots +{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{n}}}\beta _{n}\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a64bfc9ac7cf8c4db6b89adbf16831a3aef63922)
Considérons une des solutions particulières des équations aux
variations (2), nous aurons pour
![{\displaystyle \xi _{i}=\beta _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ecbdacb5621966c76b1d4cc718d3252d6ef4504)
et pour ![{\displaystyle t=\mathrm {T} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e73fc68d102315375481ba889fed0619e928ed7c)
![{\displaystyle \xi _{i}=\beta _{i}+\psi _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5e55fa37c1ebcb990278e92f1017ae9c696423f)
Parmi ces solutions particulières, nous avons vu au no 59 qu’il
y en a
qui sont d’une forme remarquable : ce sont les solutions
(3) ; soit
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{1}&=e^{\alpha _{k}t}\mathrm {S} _{1,k},&\xi _{2}&=e^{\alpha _{k}t}\mathrm {S} _{2,k},&&\ldots ,&\xi _{n}&=e^{\alpha _{k}t}\mathrm {S} _{n,k},&\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d583db0a9df372f0eda8b63e9389280148f2c589)
l’une de ces solutions (3), ou, en supprimant l’indice
pour abréger
l’écriture,
![{\displaystyle \xi _{i}=e^{\alpha t}\mathrm {S} _{i}(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33d432e2aea15141f806160be4875c2005149d8b)