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CHAPITRE IV.
et choisir en même temps le changement de variables, de façon à
satisfaire aux conditions (1) et (2).
Si donc l’équation en
a une racine nulle et une seule, il est
toujours permis de supposer que
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}{\frac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}&={\frac {d\psi _{1}}{d\beta _{2}}}&=&\ldots &=&{\frac {d\psi _{1}}{d\beta _{n}}}&=&0,\\[0.5ex]{\frac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}&={\frac {d\psi _{2}}{d\beta _{1}}}&=&\ldots &=&{\frac {d\psi _{n}}{d\beta _{1}}}&=&0.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c004fad1e01f06fa017646f450339bc8e4bf8889)
Définition des exposants caractéristiques.
59.Soit
(1)
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un système d’équations différentielles où
seront des fonctions données de
Nous pourrons supposer, ou bien que le temps
n’entre pas explicitement dans ces fonctions
ou au contraire que ces fonctions
dépendent non
seulement de
mais encore
du temps
mais dans ce dernier cas les
devront être des fonctions
périodiques de ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Imaginons que ces équations (1) admettent une solution périodique
![{\displaystyle x_{i}=\varphi _{i}(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffa286d625c425d1e3a8b1972797ab3829d32259)
Prenons cette solution comme solution génératrice et formons
les équations aux variations (voir no 53) des équations (1), en posant
![{\displaystyle x_{i}=\varphi _{i}(t)+\xi _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f4a2ee7e82adb2f3b383b6e23d05066a9801e11)
et négligeant les carrés des ![{\displaystyle \xi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/301954fda87cb533b5ff06a995680fb94c521266)
Ces équations aux variations s’écriront
(2)
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Ces équations sont linéaires par rapport aux
et leurs coefficients
[quand on y a remplacé
par
] sont des fonctions