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CHAPITRE XXVI.

Considérons maintenant un système d’équations différentielles

(1)

${\frac {dx_{i}}{dt}}=\mathrm {X} _{i}\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n),$

où les fonctions $\mathrm {X} _{i},$ qui dépendent seulement de $x_{1},$ $x_{2},\,\ldots ,$ $x_{n},$ satisfont à la relation

$\sum {\frac {d\mathrm {X} _{i}}{dx_{i}}}=0\,;$

ces équations admettront l’invariant intégral

(2)

$\int dx_{1}\,dx_{2}\,\ldots \,dx_{n}.$

Supposons que nous sachions d’une façon quelconque que le point $x_{1},$ $x_{2},\,\ldots ,$ $x_{n}$ doive rester à l’intérieur d’un certain domaine $\mathrm {V}$ analogue au domaine $\mathrm {V}$ envisagé dans les numéros précédents, mais s’étendant indéfiniment de telle sorte que l’intégrale (2) étendue à ce domaine soit infinie. Les conclusions des n^os 297 et 298 ne seront plus applicables.

Mais remplaçons les équations (1) par les suivantes

(1 bis)

${\frac {dx_{i}}{dt'}}={\frac {\mathrm {X} _{i}}{\mathrm {M} }}=\mathrm {X} _{i}',$

où $\mathrm {M}$ est une fonction donnée quelconque de $x_{1},$ $x_{2},\,\ldots ,$ $x_{n}.$ Le point $x_{1},$ $x_{2},\,\ldots ,$ $x_{n},$ dont le mouvement est défini par les équations (1 bis), décrira les mêmes trajectoires que celui dont le mouvement est défini par les équations (1). Les équations différentielles de ces trajectoires sont en effet, dans un cas comme dans l’autre.

${\frac {dx_{1}}{\mathrm {X} _{1}}}={\frac {dx_{2}}{\mathrm {X} _{2}}}=\ldots ={\frac {dx_{n}}{\mathrm {X} _{n}}}\cdot$

Mais, si j’appelle $\mathrm {P}$ le point dont le mouvement est défini par les équations (1) et $\mathrm {P} '$ celui dont le mouvement est défini par les équations (1 bis), nous voyons que ces deux points décrivent la même trajectoire, mais suivant des lois différentes.

Si j’appelle $t$ l’époque où $\mathrm {P}$ passe en un point de sa trajectoire et $t'$ l’époque où $\mathrm {P} '$ passe en ce même point, ces deux époques seront reliées par la relation

${\frac {dt}{dt'}}={\frac {1}{\mathrm {M} }}\cdot$