Je suppose de plus que est positif ; nous dirons alors que les équations (1) admettent un invariant intégral positif.
Je suppose encore que les équations (1) soient telles que si le point se trouve à l’origine du temps à l’intérieur d’un certain domaine (qui joue le même rôle que jouait tout à l’heure le vase où le liquide est enfermé) il restera indéfiniment à l’intérieur de ce domaine.
Je suppose enfin que l’intégrale
étendue à ce domaine est finie.
Dans ces conditions, si l’on considère un domaine contenu dans on pourra choisir d’une infinité de manières la position initiale du point de telle sorte que ce point traverse une infinité de fois ce domaine Si ce choix de la position initiale est fait au hasard à l’intérieur de la probabilité pour que le point ne traverse pas une infinité de fois le domaine sera infiniment petite.
En d’autres termes, si les circonstances initiales ne sont pas exceptionnelles, au sens que j’ai donné plus haut à ce mot, le point repassera une infinité de fois aussi près que l’on voudra de sa position initiale.
Il n’y a d’ailleurs rien à changer aux démonstrations qui précèdent. Nous retrouverons, par exemple, l’inégalité
où et désigneront l’intégrale (2) étendue respectivement aux domaines et
Nous pourrons en déduire les mêmes conséquences ; en effet, l’intégrale (2) étant par hypothèse essentiellement positive jouira de la même propriété que le volume, à savoir qu’étendue à un domaine tout entier, elle sera plus grande qu’étendue seulement à une partie de ce domaine.
298.Comment verrons-nous maintenant s’il existe un domaine tel que le point reste toujours à l’intérieur de ce domaine s’il y est à l’origine des temps.
