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STABILITÉ À LA POISSON.

J’ajouterai que l’existence des solutions asymptotiques prouve suffisamment que ces molécules exceptionnelles existent réellement.

Extension des résultats précédents.

297.Jusqu’ici nous nous sommes bornés à un cas très particulier, celui d’un liquide incompressible enfermé dans un vase, c’est-à-dire, pour parler le langage analytique, celui des équations

${\frac {dx}{\mathrm {X} }}={\frac {dy}{\mathrm {Y} }}={\frac {dz}{\mathrm {Z} }},$

où $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ sont trois fonctions liées entre elles par la relation

${\frac {d\mathrm {X} }{dx}}+{\frac {d\mathrm {Y} }{dy}}+{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}}=0$

et telles qu’en tous les points d’une surface fermée (celle du vase) on ait

$l\mathrm {X} +m\mathrm {Y} +n\mathrm {Z} =0,$

$l,\,m,\,n$ étant les cosinus directeurs de la normale à cette surface fermée.

Mais tous les résultats précédents sont encore vrais dans des cas beaucoup plus étendus sans qu’il y ait rien à y changer, non plus qu’aux raisonnements qui y conduisent.

Soient $n$ variables $x_{1},$ $x_{2},\,\ldots ,$ $x_{n},$ satisfaisant aux équations différentielles

(1)

$pt={\frac {dx_{1}}{\mathrm {X} _{1}}}={\frac {dx_{2}}{\mathrm {X} _{2}}}=\ldots ={\frac {dx_{n}}{\mathrm {X} _{n}}},$

où $\mathrm {X} _{1},$ $\mathrm {X} _{2},\,\ldots ,$ $\mathrm {X} _{n},$ sont $n$ fonctions uniformes quelconques, satisfaisant à la condition

${\frac {d\mathrm {MX} _{1}}{dx_{1}}}+{\frac {d\mathrm {MX} _{2}}{dx_{2}}}+\ldots +{\frac {d\mathrm {MX} _{n}}{dx_{n}}}=0,$

de telle façon que les équations (1) admettent l’invariant intégral

(2)

$\int \mathrm {M} \,dx_{1}\,dx_{2}\,\ldots \,dx_{n}.$