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INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

Invariants quadratiques.

285.Étudions maintenant au même point de vue les invariants quadratiques, c’est-à-dire les invariants intégraux de la forme

$\int {\sqrt {\mathrm {F} }},$

où $\mathrm {F}$ est une forme quadratique par rapport aux différentielles $dx_{i},\,dy_{i}.$

Soit

$\mathrm {F} ={\textstyle \sum }\,\mathrm {H} \,dx_{i}\,dx_{k},$

où les $\mathrm {H}$ sont des fonctions des $x$ et des $y$ et où le produit $dx_{i}\,dx_{k}$ peut être remplacé dans certains termes par le produit $dx_{i}\,dy_{k}$ ou $dy_{i}\,dy_{k}.$

Nous pourrons alors écrire l’équation suivante analogue à l’équation (3) du n^o 278

(1)

${\textstyle \sum }\,\mathrm {H} \,\delta x_{i}\,\delta x_{k}=\mathrm {const.}$

D’autre part, nous avons trouvé au n^o 278

${\begin{aligned}\delta x_{i}&=\xi _{i}+t\xi _{i.1},&\delta y_{i}&=\eta _{i}+t\eta _{i.1},&\end{aligned}}$

Nous pourrons alors écrire l’équation (1) sous la forme

$\mathrm {D} +\mathrm {E} \,t+\mathrm {F} \,t^{2}=\mathrm {const.} ,$

où $\mathrm {D,\,E.\,F}$ sont développés suivant les puissances des $\mathrm {A} e^{\alpha t},$ $\mathrm {A} 'e^{-\alpha t}$ et des sinus et cosinus des multiples de ${\frac {2\pi }{\mathrm {T} }}(t+h)$ et sont, d’autre part, quadratiques par rapport aux

$\delta \mathrm {A} \,e^{\alpha t},\quad \delta \mathrm {A} '\,e^{-\alpha t},\quad \delta \mathrm {C} ,\quad \delta h.$

On devra donc avoir

$\mathrm {E} =\mathrm {F} =0,$

et de plus $\mathrm {D}$ devra être indépendant de $t,$ ce qui montre que $\mathrm {D}$