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INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.
Invariants quadratiques.
285.Étudions maintenant au même point de vue les invariants
quadratiques, c’est-à-dire les invariants intégraux de la forme
![{\displaystyle \int {\sqrt {\mathrm {F} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccb199997bd7e5dfb495d122292669e6651a6dd4)
où
est une forme quadratique par rapport aux différentielles
![{\displaystyle dx_{i},\,dy_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d68fbe23327c0f4111fb592d74954087e1518b4)
Soit
![{\displaystyle \mathrm {F} ={\textstyle \sum }\,\mathrm {H} \,dx_{i}\,dx_{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b8a9819008bb6b784fcdc6d786e792a0dd4e428)
où les
sont des fonctions des
et des
et où le produit
peut être remplacé dans certains termes par le produit
ou
![{\displaystyle dy_{i}\,dy_{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/419d8f9f20ed999341752ae3e88c9593f7dc3077)
Nous pourrons alors écrire l’équation suivante analogue à l’équation (3) du no 278
(1)
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D’autre part, nous avons trouvé au no 278
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta x_{i}&=\xi _{i}+t\xi _{i.1},&\delta y_{i}&=\eta _{i}+t\eta _{i.1},&\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df3005099dcfe5e9aaee250c89717a4012cc1ec1)
Nous pourrons alors écrire l’équation (1) sous la forme
![{\displaystyle \mathrm {D} +\mathrm {E} \,t+\mathrm {F} \,t^{2}=\mathrm {const.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc01575842212abb01b556d8b58d26e3ddbff277)
où
sont développés suivant les puissances des
et des sinus et cosinus des multiples de
et sont, d’autre
part, quadratiques par rapport aux
![{\displaystyle \delta \mathrm {A} \,e^{\alpha t},\quad \delta \mathrm {A} '\,e^{-\alpha t},\quad \delta \mathrm {C} ,\quad \delta h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ac94a4b77b5863d9d76215da604b845644d8093)
On devra donc avoir
![{\displaystyle \mathrm {E} =\mathrm {F} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f885ee44a9d47e6a647372a1755af0750c68ae6)
et de plus
devra être indépendant de
ce qui montre que ![{\displaystyle \mathrm {D} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c894024162d89aa8502758b2151cb579806ea9a)