Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/124

112

CHAPITRE XXV.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Considérons les solutions voisines de cette solution périodique ; elles pourront, d’après ce qui précède, être mises sous la forme suivante : $x_{i}$ et $y_{i}$ seront développés suivant les puissances de $2n-2$ quantités conjuguées deux à deux et que j’appelle

${\begin{array}{rl}\mathrm {A} _{1}e^{\alpha _{1}t},&\quad \mathrm {A} _{1}'e^{-\alpha _{1}t}\\\mathrm {A} _{2}e^{\alpha _{2}t},&\quad \mathrm {A} _{2}'e^{-\alpha _{2}t}\\\ldots \ldots ,&\quad \ldots \ldots ..\\\mathrm {A} _{n-1}e^{\alpha _{n-1}t},&\quad \mathrm {A} _{n-1}'e^{-\alpha _{n-1}t}.\end{array}}$

Les $\mathrm {A}$ et les $\mathrm {A} '$ sont des constantes arbitraires d’intégration ; les exposants $\alpha$ peuvent se développer eux-mêmes suivant les puissances de $\mathrm {A} _{1}\,\mathrm {A} _{1}',$ $\mathrm {A} _{2}\,\mathrm {A} _{2}',\,\ldots ,$ $\mathrm {A} _{n-1}\,\mathrm {A} _{n-1}'.$

De plus les coefficients du développement de $x_{i}$ et de $y_{i}$ sont des fonctions périodiques de $t+h,$ de période $\mathrm {T} .$ Ces coefficients (de même que les exposants $\alpha$) dépendent en outre de la constante des forces vives $\mathrm {C} .$

Nous savons qu’il existe un invariant intégral

(2)

$\int {\textstyle \sum }\,dx_{i}\,dy_{i},$

d’où il résulte que, si $\beta$ et $\gamma$ sont deux constantes d’intégration, on devra avoir

$\sum \left({\frac {dx_{i}}{d\beta }}\,{\frac {dy_{i}}{d\gamma }}-{\frac {dx_{i}}{d\gamma }}\,{\frac {dy_{i}}{d\beta }}\right)=\mathrm {const.}$

On pourra écrire cette équation sous une autre forme ; supposons qu’on donne à $\beta$ un accroissement $\delta \beta$ et qu’il en résulte pour $x_{i},$ $y_{i},$ $\mathrm {A} _{i}e^{\alpha _{i}t},\,\ldots$ des accroissements

$\delta x_{i},\quad \delta y_{i},\quad \delta \mathrm {A} _{i}e^{\alpha _{i}t},\quad \ldots .$

Supposons d’autre part que l’on donne à $\gamma$ un accroissement $\delta '\!\gamma$ et qu’il en résulte pour $x_{i},$ $y_{i},\,\ldots$ des accroissements

$\delta '\!x_{i},\quad \delta '\!y_{i},\quad \ldots .$

Notre équation s’écrira

(3)

${\textstyle \sum }\,\left(\delta x_{i}\,\delta '\!y_{i}-\delta y_{i}\,\delta '\!x_{i}\right)=\mathrm {const.}$

Le second nombre est une constante ; je veux dire que c’est une fonction des constantes d’intégration multipliée par $\delta \beta \,\delta '\!\gamma .$