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INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.
et le calcul s’achèverait comme aux nos 275 et 276 ; on arriverait à
la conclusion suivante :
Les
et les
sont développables suivant les puissances de
de trois constantes
et
de
de
![{\displaystyle {\begin{array}{rr}{\sqrt {\beta _{0}}}e^{n_{2}t+\varpi _{2}},&{\sqrt {\beta _{0}}}e^{-(n_{2}t+\varpi _{2})},\\{\sqrt {\beta _{0}'}}e^{n_{2}'t+\varpi _{2}'},&{\sqrt {\beta _{0}'}}e^{-(n_{2}'t+\varpi _{2}')}.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca1cd295152a3bba4eeaf587b44d8fccf7a97adf)
Les exposants
et
sont eux-mêmes développables suivant
les puissances de
et ![{\displaystyle \beta _{0}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fd2fe370dbc64465a06249590c33c7d47b4b04c)
Cette généralisation s’applique immédiatement quand il y a
degrés de liberté ; le premier cas, celui du numéro précédent,
correspond à celui où il y a
relations invariantes et une seule
relation linéaire entre les moyens mouvements. C’est celui qui
nous a occupés au Chapitre XIX.
Le second cas, celui du présent numéro, correspond à celui où
il y a
relations invariantes définissant une véritable solution
périodique et où il y a
relations linéaires entre les
moyens mouvements. C’est celui des solutions asymptotiques qui
nous a occupés au Chapitre VII.
Mais il y a des cas intermédiaires où l’on a
relations invariantes,
et
relations linéaires entre les moyens mouvements.
Alors les
et les
peuvent se développer suivant les puissances
positives ou négatives de
exponentielles réelles et de
exponentielles imaginaires.
Relation avec les invariants intégraux.
278.Supposons donc que les équations canoniques
(1)
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admettent une solution périodique de la forme suivante
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t+h),&y_{i}&=\psi _{i}(t+h),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103599694d5c5848795f8db5c47ca16fe06fffa8)
où
est une constante d’intégration ; et soit
la période, de telle
façon que
et
soient développables en séries procédant suivant
les sinus et cosinus des multiples de ![{\displaystyle {\frac {2\pi }{\mathrm {T} }}(t+h).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ec402dddcec2a3602849485393377edf6615582)