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INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

et le calcul s’achèverait comme aux n^os 275 et 276 ; on arriverait à la conclusion suivante :

Les $x_{i}$ et les $y_{i}$ sont développables suivant les puissances de $\varepsilon$ de trois constantes $\alpha _{0},$ $\beta _{0}$ et $\beta _{0}',$ de $e^{\pm i(n_{1}t+\varpi _{1})},$ de

${\begin{array}{rr}{\sqrt {\beta _{0}}}e^{n_{2}t+\varpi _{2}},&{\sqrt {\beta _{0}}}e^{-(n_{2}t+\varpi _{2})},\\{\sqrt {\beta _{0}'}}e^{n_{2}'t+\varpi _{2}'},&{\sqrt {\beta _{0}'}}e^{-(n_{2}'t+\varpi _{2}')}.\end{array}}$

Les exposants $n_{1},\,n_{2}$ et $n_{2}'$ sont eux-mêmes développables suivant les puissances de $\varepsilon ,$ $\alpha _{0},$ $\beta _{0}$ et $\beta _{0}'.$

Cette généralisation s’applique immédiatement quand il y a $n$ degrés de liberté ; le premier cas, celui du numéro précédent, correspond à celui où il y a $n+1$ relations invariantes et une seule relation linéaire entre les moyens mouvements. C’est celui qui nous a occupés au Chapitre XIX.

Le second cas, celui du présent numéro, correspond à celui où il y a $2n-1$ relations invariantes définissant une véritable solution périodique et où il y a $n-1$ relations linéaires entre les moyens mouvements. C’est celui des solutions asymptotiques qui nous a occupés au Chapitre VII.

Mais il y a des cas intermédiaires où l’on a $n-q$ relations invariantes, et $q$ relations linéaires entre les moyens mouvements. Alors les $x_{i}$ et les $y_{i}$ peuvent se développer suivant les puissances positives ou négatives de $q$ exponentielles réelles et de $n-q$ exponentielles imaginaires.

Relation avec les invariants intégraux.

278.Supposons donc que les équations canoniques

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}&&(i=1,\,2,\,\ldots ,\,n)\end{aligned}}$

admettent une solution périodique de la forme suivante

${\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t+h),&y_{i}&=\psi _{i}(t+h),\end{aligned}}$

où $h$ est une constante d’intégration ; et soit $\mathrm {T}$ la période, de telle façon que $\varphi _{i}$ et $\psi _{i}$ soient développables en séries procédant suivant les sinus et cosinus des multiples de ${\frac {2\pi }{\mathrm {T} }}(t+h).$