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INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

jours un invariant intégral

$\int {\textstyle \sum }\,dx_{i}\,dy_{i}.$

S’il y a plusieurs invariants intégraux qui ne s’annulent pas identiquement pour la solution périodique envisagée, à chacun de ces invariants devra correspondre un système de valeurs des coefficients $\mathrm {B} _{i}$ et $\mathrm {E} _{i}.$

Si les équations (14) admettent $q$ solutions linéairement indépendantes, on pourra calculer les valeurs correspondantes des $\mathrm {E} _{k}$ à l’aide des équations (14 bis), et comme $\mathrm {E} _{0}$ reste arbitraire, nous aurons $q+1$ systèmes de valeurs, linéairement indépendants, des coefficients $\mathrm {B} _{i}$ et $\mathrm {E} _{i}.$

Nous pourrons donc avoir $q+1$ invariants intégraux distincts (si la solution périodique considérée n’est pas singulière au sens donné à ce mot au n^o 257), mais nous ne pourrons pas en avoir davantage.

282.J’ai dit plus haut que les conditions (15) étaient certainement remplies ; il pourrait rester un doute sur ce point ; et en effet si les équations (14) comportent $q$ solutions distinctes, il peut y avoir $q+1$ invariants ; si donc il n’y a qu’un invariant, on pourrait supposer $q=0\,;$ la présence d’un seul invariant

$\int {\textstyle \sum }\,dx_{i}\,dy_{i}$

ne suffirait donc pas pour permettre d’affirmer que les équations (14) comportent certainement une solution.

C’est ce doute qu’il me reste à dissiper.

J’observe d’abord que dans le cas du problème des trois corps, il y a non pas un, mais deux invariants intégraux.

Nous avons, en effet, dans le Tome 1, Chapitre IV, étudié les équations aux variations de ce problème.

Nous avons obtenu pages 170 et 172 les intégrales suivantes

(1)

$\sum {\frac {y\eta }{m}}-\sum {\frac {d\mathrm {V} }{dx}}\,\xi =\mathrm {const.}$

(2)

${\textstyle \sum }\,(2x\eta +y\xi )-3t\left(\sum {\frac {y\eta }{m}}-\sum {\frac {d\mathrm {V} }{dx}}\,\xi \right)=\mathrm {const.}$