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INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

guées $y_{i}$ sont les composantes de leurs quantités de mouvement. Nous nous proposerons d’étudier les invariants intégraux algébriques par rapport aux $x_{i}$ et aux $y_{i}$ et de voir, s’il peut en exister d’autre que celui qui est connu et qui s’écrit

$\iint {\textstyle \sum }\,dx_{i}\,dy_{i}.$

Nous avons vu que, dans le voisinage d’une solution périodique, les $x_{i}$ et les $y_{i}$ peuvent se développer suivant les puissances des $\mathrm {A} e^{\alpha t},\ldots .$ Nous allons de nouveau envisager ces développements ; mais nous pourrons supposer que la valeur de la constante des forces vives qui correspond à la solution périodique est nulle, de sorte que les développements procéderont non seulement suivant les puissances des $\mathrm {A} e^{\alpha t},$ mais encore suivant celles de $\mathrm {C} .$ Ils dépendront en outre de $t+h.$

En égalant les $x_{i}$ et les $y_{i}$ à ces développements, on obtient $2n$ équations, que nous allons résoudre par rapport aux $\mathrm {A} e^{\alpha t},$ à $\mathrm {C}$ et à $t+h.$

Il vient

(7)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{k}r}&=f_{k},\\\mathrm {A} _{k}'e^{-\alpha _{k}r}&=f_{k}',\\\mathrm {C} &=\Phi ,\\\alpha _{0}t+\beta _{0}={\frac {2\pi }{\mathrm {T} }}(t+h)&=\Theta .\end{aligned}}\right.$

Nous remarquerons que $\alpha _{0}$ comme $\alpha _{k}$ est développable suivant les puissances de $\mathrm {C}$ et des $\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}',$ et l’on voit que $f_{k},$ $f_{k}',$ $\Phi ,$ $\cos \Theta ,$ $\sin \Theta$ sont des fonctions uniformes des $x_{i}$ et des $y_{i}$ dans le voisinage de la solution périodique. De plus, les $x_{i}$ et les $y_{i}$ peuvent se développer suivant les puissances des $f_{k},$ des $f_{k}'$ et de $\Phi$ et suivant les sinus et les cosinus des multiples de $\Theta .$

D’autre part l’expression

(3)

${\textstyle \sum }\,\left(\delta x_{i}\,\delta '\!y_{i}-\delta y_{i}\,\delta '\!x_{i}\right)$

qui correspond à l’invariant (2) ou les expressions analogues qui correspondraient à un autre invariant bilinéaire de la forme (5) devra être développable suivant les puissances des $f_{k},$ $f_{k}',$ $\Phi$ et