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CHAPITRE XXV.
sorte, no 260), c’est-à-dire de la forme
(5)
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où
est une fonction des
et des
et où, sous le signe
une
ou deux des différentielles
peut être remplacée par
ou ![{\displaystyle dy_{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b4c749744b0489db100f2a39457b55a796b4dd3)
L’expression
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\mathrm {B} \left(\delta x_{i}\,\delta '\!x_{k}-\delta x_{k}\,\delta '\!x_{i}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/079295bcef2a0237bc58b367b7af0588c2bc6aec)
serait encore linéaire par rapport aux quantités (4). Cela s’appliquerait
encore à un invariant quadratique (invariant de la deuxième
sorte, no 260) de la forme
(6)
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où
est fonction des
et des
et où, sous le signe
une ou
deux des différentielles
peut être remplacée par ![{\displaystyle dy_{i},\,dy_{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b541235b6850967a9593264b81879cc52b6ac2e)
On verrait que l’expression
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\mathrm {B} \delta x_{i}\,\delta x_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c13f9e931a61f1e24a5e5322df006e88a989eeb0)
doit être linéaire par rapport aux expressions
(4 bis)
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et de celles qu’on en peut déduire en permutant
et
et ![{\displaystyle \mathrm {A} _{j}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3befa1523692c86ddc165eb9fe9ccae2e122ebd2)
Pour toute variété asymptotique, l’invariant (5) comme l’invariant (6) doivent s’annuler.
Autre mode de discussion.
280.La même étude peut être poussée plus loin, en la présentant
sous une autre forme.
Nous supposerons, par exemple, que nous avons affaire à un
problème de Dynamique, que les
sont les coordonnées des
divers points matériels du système et que les variables conju-