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INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

D’autre part, $n_{1}$ et $n_{2}$ sont des constantes, mais qui sont développables suivant les puissances de $\varepsilon ,$ $\alpha _{0}$ et $\beta _{0},$ et qui se réduisent à $n_{1}'$ et $n_{2}'$ pour $\varepsilon =\alpha _{0}=\beta _{0}=0.$

Nous pouvons alors écrire, par exemple,

$e^{n_{2}t}=e^{n_{2}'t}.e^{(n_{2}-n_{2}')t},$

et développer ensuite le second facteur suivant les puissances de $\varepsilon ,$ $\alpha _{0},$ $\beta _{0}\,;$ ce second facteur se trouvera alors, en outre, développé suivant les puissances de $t.$

C’est pour cela que, dans le Chapitre VII, nous avions vu le temps $t$ et ses puissances sortir des signes exponentiels et trigonométriques, ce qui pouvait, dans certains cas, produire une difficulté ; l’analyse précédente montre que cette difficulté était purement artificielle.

Si je veux maintenant comparer notre résultat avec ceux du Chapitre XIX, j’envisagerai les courbes

${\begin{aligned}y_{1}&=\theta (v_{1}),&x_{1}&=\zeta _{1}(v_{1}),\end{aligned}}$

dont j’ai rappelé la définition à la fin du n^o 273. Pour obtenir les équations de ces courbes, je n’ai qu’à prendre les expressions de $x_{1}$ et $y_{1},$ et à y donner à $\alpha _{0},$ $\beta _{0},$ $n_{1}t+\varpi _{1}$ une valeur constante. Alors $y_{1}$ et $x_{1}$ sont développables suivant les puissances de

$e^{\pm (n_{2}t+\varpi _{2})}.$

En faisant varier $n_{2}t+\varpi _{2},$ on voit bien que les courbes ont la forme que j’ai décrite à la fin du n^o 273.

Je rappellerai, en terminant, que tous ces résultats ne sont vrais qu’au point de vue formel ; les séries ne sont convergentes que dans le cas des solutions asymptotiques dont on obtient les équations en faisant

${\begin{aligned}\beta _{0}&=0,&\varpi _{2}&=+\infty ;\end{aligned}}$

je veux dire en faisant

${\begin{aligned}{\sqrt {\beta _{0}}}e^{\varpi _{2}}&=\mathrm {A} ,&{\sqrt {\beta _{0}}}e^{-\varpi _{2}}&=0,\end{aligned}}$

ou bien encore en faisant

${\begin{aligned}\beta _{0}&=0,&\varpi _{2}&=-\infty ;\end{aligned}}$