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CHAPITRE XXV.

$u_{1},$ $v_{1},$ les fonctions $\mathrm {T}$ et $\mathrm {V} \,;$ les dérivées de $\mathrm {V}$ par rapport à $v_{1}$ et aux $z_{i}$ seront des fonctions périodiques des $z_{i}$ (Cf. t. II, p. 361).

Examinons plus particulièrement les équations qui sont au début de la page 363 (t. II) et qui s’écrivent

${\begin{aligned}y_{1}&=\theta (v_{1},y_{2},y_{3},\ldots ,y_{n}),\\x_{k}&=\zeta _{k}(v_{1},y_{2},y_{3},\ldots ,y_{n})\end{aligned}}$

puis, regardant $y_{2},\,y_{3},\,\ldots ,\,y_{n}$ comme des constantes, envisageons, toujours comme dans le numéro cité, les équations

${\begin{aligned}y_{1}&=\theta (v_{1}),&x_{1}&=\zeta _{1}(v_{1}).\end{aligned}}$

Quand nous ferons varier $v_{1},$ le point $(x_{1},y_{1})$ décrira une courbe que je veux étudier. Supposons que, ne faisant pas varier les constantes $x_{2}',$ $x_{3}',\,\ldots ,$ $x_{n}',$ nous fassions au contraire varier $x_{1}',$ nous obtiendrons une infinité de courbes correspondant aux diverses valeurs de $x_{1}'.$

Nous avons supposé plus haut qu’on avait les relations invariantes

$x_{1}=x_{i}=y_{1}=0$

qui sont comme une généralisation des solutions périodiques.

À ces relations correspondra le point

$x_{1}=y_{1}=0$

c’est-à-dire l’origine des coordonnées. C’est dans le voisinage de ce point que je voudrais étudier nos courbes.

Donnons à $x_{1}'$ la valeur qui correspond à la fonction $\mathrm {S}$ particulière définie par l’équation (5), nous aurons

$x_{1}=2\Sigma _{2}y_{1}+3\Sigma _{3}y_{1}^{2}+\ldots .$

La courbe correspondante passe donc par l’origine ; on obtiendrait une seconde courbe passant par l’origine en changeant ${\sqrt {\overset {}{\mu }}}$ en $-{\sqrt {\overset {}{\mu }}}.$

Nous avons donc deux courbes se croisant à l’origine ; les centres courbes pourront passer près de l’origine, mais sans l’atteindre et sans se couper mutuellement ; de telle façon que l’ensemble de nos courbes rappellera, par sa forme générale dans