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MÉTHODES DE M. BOHLIN.

nos variables en fonctions de $n$ quelconques d’entre elles, supposons que l’on exprime $y_{1}$ et les $x_{k}$ en fonctions de

$v_{1},\quad y_{2},\quad y_{3},\quad \ldots ,\quad y_{n}.$

Soit donc

${\begin{aligned}y_{1}&=\theta (v_{1},y_{2},y_{3},\ldots ,y_{n}),\\x_{k}&=\zeta _{k}(v_{1},y_{2},y_{3},\ldots ,y_{n}).\end{aligned}}$

On voit sans peine que les fonctions $\theta$ et $\zeta _{k}$ sont périodiques de période $2\pi$ par rapport à chacune des $n$ variables dont elles dépendent.

Si nous regardons un instant $y_{2},$ $y_{3},$ $\ldots ,\,y_{n}$ comme des constantes et $x_{1}$ et $y_{1}$ comme les coordonnées d’un point dans un plan, nous pourrons envisager les équations

${\begin{aligned}y_{1}&=\theta (v_{1}),&x_{1}&={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}}=\zeta _{1}(v_{1}).\end{aligned}}$

Quand nous ferons varier $v_{1},$ le point $x_{1},y_{1}$ décrira une courbe fermée puisque les fonctions $\theta$ et $\zeta _{1}$ reprennent leurs valeurs primitives quand $v_{1}$ augmente de $2\pi .$

Ainsi, si $y_{2},$ $y_{3},$ $\ldots ,\,y_{n}$ sont considérées comme des constantes, l’équation

$x_{1}={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}}$

est celle d’une courbe fermée.

C’est là le résultat auquel je voulais parvenir ; mais il importe d’en préciser la signification. Nous ne devons pas oublier, en effet, que tous les théorèmes qui précèdent sont vrais, mais seulement au point de vue du calcul formel.

Les fonctions $\theta$ et $\zeta _{k}$ sont développables suivant les puissances de ${\sqrt {\overset {}{\mu }}},$ de sorte que nous pouvons écrire

(24)

$\left\{{\begin{aligned}y_{1}&=\theta _{0}(v_{1})+{\sqrt {\overset {}{\mu }}}\,\theta _{1}(v_{1})+\mu \,\theta _{2}(v_{1})+\ldots ,\\x_{1}&=\zeta _{1}^{0}(v_{1})+{\sqrt {\overset {}{\mu }}}\,\zeta _{1}^{1}(v_{1})+\mu \,\zeta _{1}^{2}(v_{1})+\ldots ,\end{aligned}}\right.$

et toutes les fonctions $\theta _{p}(v_{1})$ et $\zeta _{1}^{p}(v_{1})$ sont périodiques de période $2\pi .$

Les seconds membres des équations (24) sont des séries ordonnées suivant les puissances de ${\sqrt {\overset {}{\mu }}},$ mais qui, en général, ne sont