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CHAPITRE XXV.

Si nous posons un instant

${\begin{aligned}y_{2}-(n_{1}t+\varpi _{1})&=z_{2},&v-(n_{2}t+\varpi _{2})&=z_{3},\end{aligned}}$

les deux équations

${\begin{aligned}n_{1}t+\varpi _{1}&={\frac {d\mathrm {S} }{d\alpha _{0}}},&n_{2}t+\varpi _{2}&={\frac {d\mathrm {S} }{d\beta _{0}}}\end{aligned}}$

prendront la forme

(3)

${\begin{aligned}z_{2}&=\varepsilon \psi _{2},&z_{3}&=\varepsilon \psi _{3},\end{aligned}}$

$\psi _{2}$ et $\psi _{3}$ étant développables selon les puissances de

$\varepsilon ,\quad \alpha _{0},\quad e^{\pm i(n_{1}t+\omega _{1})},\quad {\sqrt {\beta _{0}}}e^{(n_{2}t+\varpi _{2})},\quad {\sqrt {\beta _{0}}}e^{-(n_{2}t+\varpi _{2})},\quad z_{2},\quad z_{3}$

[et, en effet, on a par exemple

${\sqrt {\beta _{0}}}e^{v}={\sqrt {\beta _{0}}}e^{n_{2}t+\varpi _{2}}\left(1+{\frac {z^{3}}{1}}+{\frac {z_{3}^{2}}{1.2}}+{\frac {z_{3}^{3}}{1.2.3}}+\ldots \right),$

et des formules analogues pour $e^{\pm iy_{2}},$ et ${\sqrt {\beta _{0}}}e^{-v}$].

Il suffit alors, pour démontrer la proposition énoncée, d’appliquer aux équations (3) le théorème du n^o 30.

Comparons maintenant le résultat obtenu avec celui du Chapitre VII que j’ai rappelé au début du présent Chapitre.

Nous avons vu dans ce Chapitre VII que, dans le voisinage de la solution périodique

$x_{1}=y_{1}=x_{2}=0,$

les variables $x_{1},$ $y_{1},$ $x_{2},$ $y_{2}$ sont développables suivant les puissances de

$e^{\pm n_{1}'t+\varpi _{1})},\quad \mathrm {A} e^{n_{2}'t},\quad \mathrm {A} 'e^{-n_{2}'t},$et$t\;$

$\mathrm {A} ,$ $\mathrm {A} '$ sont des constantes d’intégration ; $n_{1}'$ et $n_{2}'$ sont des constantes absolues, dépendant seulement de la période de la solution périodique et de ses exposants caractéristiques.

Nous venons de voir que ces mêmes variables doivent être développables suivant les puissances de

$e^{\pm i(n_{1}t+\omega _{1})},\quad {\sqrt {\beta _{0}}}e^{(n_{2}t+\varpi _{2})},\quad {\sqrt {\beta _{0}}}e^{-(n_{2}t+\varpi _{2})}.$

Les deux résultats sont évidemment d’accord ; en effet, nous pouvons d’abord poser

${\begin{aligned}\mathrm {A} &={\sqrt {\beta _{0}}}e^{\varpi _{2}},&\mathrm {A} '&={\sqrt {\beta _{0}}}e^{-\varpi _{2}}.\end{aligned}}$