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INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.
forme canonique ; seulement les nouvelles équations admettront
les relations invariantes suivantes
![{\displaystyle x_{1}'=x_{i}'=y_{1}'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7aac36867e6b23392bca8ad1e914c865adc6c2d)
qui pourront par rapport aux nouvelles équations canoniques être
regardées comme des généralisations des solutions périodiques au
même titre que
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\eta ,&y_{1}&=\zeta ,&x_{i}&=\xi _{i},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d9ecc54e9e6800f3d9b94f07b39eb73c32ffb6c)
pour les anciennes.
Nous pouvons donc, sans restreindre la généralité, supposer
que nos équations canoniques admettent comme relations invariantes
![{\displaystyle x_{1}=x_{i}=y_{1}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b1bcfedcadd88139412af5b5b13292c92a98678)
S’il en est ainsi, nous avons vu au no 210 que
est un zéro
simple pour les dérivées
et un zéro double pour les dérivées
Ainsi
ou plutôt
peut se développer suivant les puissances
de
et le développement commencera par un terme du
deuxième degré ; nous aurons
(5)
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|
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les
étant des séries dépendant de
et développées
suivant les puissances de
on voit en outre que les
sont des
fonctions périodiques de
![{\displaystyle y_{3},\,\ldots ,\,y_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e06a00317fa1455928cb05f124ad3030a8ba1d4c)
Cela malheureusement ne nous suffit pas pour notre objet.
La fonction
définie par l’équation (5) ne dépend, en effet,
que de
constantes arbitraires
![{\displaystyle x_{2}^{0},\quad x_{3}^{0},\quad \ldots ,\quad x_{n}^{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fefd292d42b21901359ce987e4b06f2bba0ebe45)
tandis qu’il en faudrait
pour la solution complète du problème.
Pour une étude plus approfondie, nous aurons recours au changement
de variables du no 206. Si nous adoptons les notations
de ce numéro, c’est-à-dire si nous posons
![{\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}&={\frac {1}{2}}\int {\frac {dy_{1}}{\sqrt {x_{1}'-\psi }}},&z_{i}&=y_{i}-{\frac {y_{1}}{\mathrm {A} }}{\frac {d\mathrm {B} }{dx_{i}'}},&&\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cda70c4d6d18128e628a05dfd630929d70a09910)
si nous définissons comme dans le numéro cité les variables ![{\displaystyle x_{i}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fe94be685b117bebb8babe30d6442865085d5d8)