Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 2, 1893.djvu/97

83

APPLICATION AUX ORBITES.

et cette quadrature s’exécute sans peine. Il vient, en effet,

$\Lambda =\delta +\beta \alpha \cos(1+\mu \mathrm {A} )\lambda +\gamma \alpha \sin(1+\mu \mathrm {A} )\lambda ,$

$\delta$ étant une nouvelle constante d’intégration.

Une solution particulière remarquable correspond au cas où $\beta$ et $\gamma$ sont nuls. Il vient alors

(3)

${\begin{aligned}x&=\alpha \cos \lambda ,&y&=-\alpha \sin \lambda ,\end{aligned}}$

d’où

$\Lambda =\delta .$

Si l’on veut continuer la comparaison avec le Problème des trois Corps, on pourra dire que cette solution particulière (3) est l’analogue des solutions périodiques de la première sorte définies au Chapitre III.

Les équations (2) nous donnent

$(x-\alpha \cos \lambda )^{2}+(y+\alpha \sin \lambda )^{2}=\beta ^{2}-\gamma ^{2}.$

Si $x$ et $y$ sont regardées pour un instant comme les coordonnées d’un point dans un plan, c’est là l’équation d’un cercle qui a pour centre le point

${\begin{aligned}x&=\alpha \cos \lambda ,&y&=-\alpha \sin \lambda ,\end{aligned}}$

qui correspondrait à la solution périodique (3). Ce point est voisin de l’origine, parce que $\mu$ et, par conséquent, $\alpha$ sont petits ; mais il diffère néanmoins de l’origine, et, si $\beta$ et $\gamma$ sont petits également, le rayon du cercle est petit et l’origine peut devenir très excentrique par rapport à ce cercle ; elle peut même être en dehors de ce cercle.

Si nous passons aux coordonnées polaires

${\sqrt {2\Omega }}\quad$ et $\quad \omega ,$

l’équation du cercle devient

$2\Omega -2\alpha {\sqrt {2\Omega }}\cos(\omega +\lambda )=\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\alpha ^{2}.$

Comparons cette équation avec celle-ci, que l’on peut déduire aisément de l’équation (2) du n^o 142

$\mu \cos \varphi {\sqrt {\frac {d\mathrm {S} }{d\varphi }}}+(1+\mu \,\mathrm {A} ){\frac {d\mathrm {S} }{d\varphi }}=\mathrm {C} -\Lambda =\mathrm {V} (1+\mu \,\mathrm {A} )$