Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 2, 1893.djvu/89

75

APPLICATION AUX ORBITES.

De plus, $\mathrm {F}$ est développable suivant les puissances de

${\sqrt {\rho _{i}}}\cos \omega _{i},\quad {\sqrt {\rho _{i}}}\sin \omega _{i}\quad$ et $\quad \mu ,$

périodique en $\lambda _{1}$ et $\lambda _{1}'\,;$ enfin $\mathrm {F} _{0}$ ne dépend que de $\Lambda$ et $\Lambda '.$ La fonction $\mathrm {F} ,$ définie au commencement de ce numéro, est tout à fait analogue ; la variable $\Lambda$ joue le rôle de $\Lambda$ et $\Lambda ',$, $\Omega$ celui des $\rho _{i},$ $\lambda$ celui de $\lambda _{1}$ et $\lambda '_{1},$ $\omega$ celui des $\omega _{i}.$ On voit que $\mathrm {F}$ est développable suivant les puissances de

${\sqrt {\Omega }}\cos \omega ,\quad {\sqrt {\Omega }}\sin \omega ,$

et que, pour $\mu =0,$ elle se réduit à $\Lambda .$

L’analogie est donc évidente. Supposons qu’on veuille appliquer à cette équation la méthode des Chapitres précédents, c’est-à-dire chercher à intégrer l’équation aux dérivées partielles

(2)

${\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda }}+\mu \cos(\omega +\lambda ){\sqrt {\frac {d\mathrm {S} }{d\omega }}}+\mu \,\mathrm {A} \;{\frac {d\mathrm {S} }{d\omega }}=\mathrm {C} ,$

$\mathrm {C}$ étant une constante d’intégration. Il s’agit de trouver une solution de cette équation (2), qui soit développable suivant les puissances de $\mu ,$ et telle que ${\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda }}$ et ${\frac {d\mathrm {S} }{d\omega }}$ soient périodiques en $\lambda$ et en $\omega .$

Pour cela posons

$\omega +\lambda =\varphi \,;$

l’équation (2) devient, avec les variables nouvelles $\lambda$ et $\varphi ,$

${\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda }}+\mu \cos \varphi {\sqrt {\frac {d\mathrm {S} }{d\varphi }}}+(1+\mu \,\mathrm {A} ){\frac {d\mathrm {S} }{d\varphi }}=\mathrm {C} .$

Soit $\Lambda$ une constante d’intégration, et posons

${\begin{aligned}1+\mu \,\mathrm {A} &=\mathrm {B} ,&\mathrm {C} -\Lambda &=\mathrm {VB} \,;\end{aligned}}$

nous satisferons à notre équation en faisant

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda }}&=\Lambda ,&{\frac {d\mathrm {S} }{d\omega }}&={\frac {2\mu ^{2}\cos ^{2}\varphi +4\mathrm {B} ^{2}\mathrm {V} \pm 2\mu \cos \varphi {\sqrt {\mu ^{2}\cos ^{2}\varphi +4\mathrm {B} ^{2}\mathrm {V} }}}{4\mathrm {B} ^{2}}}\cdot \end{aligned}}$

La fonction $\mathrm {S}$ ainsi définie satisfait bien à toutes les données du problème, à une condition toutefois, c’est que le radical

${\sqrt {\mu ^{2}\cos ^{2}\varphi +4\mathrm {B} ^{2}\mathrm {V} }}$