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CHAPITRE XI.

ordonnées suivant les puissances de $\mu$ et qui satisfont formellement aux équations du Problème des trois Corps.

$\Lambda _{0},\,\Lambda '_{0}$ et $\mathrm {V} _{i}^{0}$ sont des constantes ; on a

$w_{i}=n_{i}t+\varpi _{i}.$

Les $\Lambda _{k},$ les $\Lambda '_{k},$ les $\Lambda _{i}^{k},$ les $y_{i}^{k}$ sont des fonctions périodiques des $w,$ qui dépendent en outre des constantes $\Lambda _{0},$ $\Lambda '_{0},$ $\mathrm {V} _{i}^{0}.$

D’autre part, les quantités $n_{i}$ (qui dépendent en outre des constantes $\Lambda _{0},$ $\Lambda '_{0},$ $\mathrm {V} _{i}^{0}$) sont développables suivant les puissances croissantes de $\mu ,$ de telle sorte que l’on a

$n_{i}=n_{i}^{0}+\mu \,n_{i}^{1}+\mu ^{2}n_{i}^{2}+\ldots .$

Le point sur lequel je désire attirer l’attention, c’est que l’on a

${\begin{array}{c}n_{3}^{0}=n_{4}^{0}=0,\\n_{1}^{0}\gtrless 0,\quad n_{2}^{0}\gtrless 0.\end{array}}$

Les coefficients des séries qui précèdent auraient pu être calculés d’une façon plus rapide et sans passer par toute cette série de changements de variables, si je ne m’étais attaché surtout à établir simplement et rigoureusement la possibilité même du développement.

Il y a plus : les variables primitives $\Lambda ,$ $\Lambda ',$ $\lambda -\omega _{1},$ $\lambda -\omega _{2},$ $\xi ,$ $\xi ',$ $\eta ,$ $\eta '$ peuvent être développées en séries de même forme, c’est-à-dire en séries dont les termes sont des fonctions périodiques de $\omega _{1},$ $\omega _{2},$ $\omega _{3}$ et $\omega _{4}.$ Il suffit, pour s’en convaincre, de remplacer dans les expressions des variables primitives en fonctions des variables nouvelles, d’y remplacer, dis-je, ces variables nouvelles par leurs expressions (1) ; et alors on pourra avoir avantage à calculer directement les coefficients des développements des variables primitives, sans passer par l’intermédiaire des variables nouvelles qui ont servi à démontrer la possibilité de ce développement.

Je ne veux pas insister ici sur les procédés qui peuvent permettre le calcul direct de ces coefficients. Ce que j’ai dit au n^o 127 suffit pour en faire comprendre l’esprit, et j’aurai d’ailleurs l’occasion d’y revenir au Chapitre XIV.

J’indiquerai seulement un moyen d’éviter le dernier changement de variables, celui par lequel on passe des $\rho _{i}$ et des $\omega _{i}$ aux $\mathrm {V} _{i}$ et