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EXTENSION DE LA MÉTHODE DE M. BOHLIN.

Alors $\mathrm {S} _{1}$ n’est autre chose que la partie réelle de $\psi e^{ix}\,;$ et $\psi$ se présente sous la forme d’un développement procédant suivant les puissances de $\operatorname {cot} {\frac {y}{4}},$ c’est-à-dire suivant les puissances décroissantes de la variable que j’ai appelée $t$ au n^o 228.

Ce développement n' est autre chose que le développement (15).

Voyons ce que deviennent dans cette transformation les expressions ${\frac {\mathrm {N} }{\Pi }}\cdot$

$\mathrm {N}$ est développable suivant les puissances de $\varepsilon \,;$ d’autre part, $\beta$ étant développable également suivant les puissances de $\varepsilon ,$ il en sera de même de

${\frac {1}{m{\sqrt {-1}}+n\beta }}$

et le premier terme du développement sera

${\frac {1}{m{\sqrt {-1}}+n{\sqrt {2\mu }}}}\cdot$

Supposons donc que nous ayons une expression ${\frac {\mathrm {N} }{\Pi }}$ où le premier terme du développement de $\mathrm {N}$ suivant les puissances de $\varepsilon$ se réduise à ${\frac {\varepsilon \mu }{2}}\mathrm {B} _{n}$ et où le produit $\Pi$ se réduise à un seul facteur

${\sqrt {-1}}-n\beta .$

Alors le développement de ${\frac {\mathrm {N} }{\Pi }}$ aura pour premier terme

${\frac {\varepsilon \mu }{2}}\,{\frac {\mathrm {B} _{n}}{{\sqrt {-1}}-n{\sqrt {2\mu }}}}=\varepsilon \,{\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,{\frac {\mathrm {B} _{n}}{2\alpha -n}}\cdot$

Ainsi s’explique, dans le développement (15), la présence du coefficient

${\frac {\mathrm {B} _{n}}{2\alpha -n}}\cdot$

De même $\mathrm {S} '$ est développable suivant les puissances de $\varepsilon ,$ ce qui donne

$\mathrm {S} '=\mathrm {S} _{0}'+\mathrm {S} _{1}'\varepsilon +\ldots \,;$