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EXTENSION DE LA MÉTHODE DE M. BOHLIN.

On en conclut, en effectuant l’intégration,

$\psi ={\sqrt {2\mu }}\,{\textstyle \sum }\,t^{2n+1}(-1)^{n}-i\sum {\frac {t^{2n+1}(-1)^{n}}{2\alpha +2n+1}}+\mathrm {C} t^{-2\alpha }.$

On voit ainsi que, pour $t=0,$ $\psi -\mathrm {C} t^{-2\alpha }$ s’annule. D’autre part, comme la partie réelle de $\alpha$ est nulle, l’expression $t^{-2\alpha }$ ne s’annule pas pour $t=0.$

Pour que la fonction $\psi$ s’annule pour $t=0,$ c’est-à-dire pour $u=-\infty ,$ il faut donc et il suffit que la constante $\mathrm {C}$ s’annule. La fonction que nous avons appelée $\psi '$ au n^o 226 est donc égale à

$\psi '={\sqrt {2\mu }}\,{\frac {t}{1+t^{2}}}-it^{-2\alpha }\int _{t}^{\infty }{\frac {t^{2\alpha }\,dt}{1+t^{2}}}\cdot$

Je puis écrire aussi la formule (10) sous la forme

$\psi ={\sqrt {2\mu }}\,{\frac {t}{1+t^{2}}}+it^{-2\alpha }\int _{t}^{\infty }{\frac {t^{2\alpha }\,dt}{1+t^{2}}}+\mathrm {C} 't^{-2\alpha },$

$\mathrm {C} '$ étant une nouvelle constante.

Si nous supposons que $t$ soit plus grand que 1 et que nous développions suivant les puissances décroissantes de $t,$ il viendra

$\psi ={\sqrt {2\mu }}\,{\textstyle \sum }\,t^{-(2n+1)}-(1)^{n}+i\sum {\frac {t^{-(2n+1)}(-1)^{n}}{2n+1-2\alpha }}+\mathrm {C} 't^{-2\alpha }.$

Le premier et le second terme s’annulent pour $t=\infty ,$ mais il n’en est pas de même du troisième.

Pour que la fonction $\psi$ s’annule pour $t=\infty ,$ c’est-à-dire pour $u=+\infty ,$ il faut donc et il suffit que la constante $\mathrm {C} '$ s’annule. La fonction que nous avons appelée $\psi$ au n^o 226 est donc égale à

$\psi ={\sqrt {2\mu }}\,{\frac {t}{1+t^{2}}}+\int _{t}^{\infty }{\frac {t^{2\alpha }\,dt}{1+t^{2}}}\cdot$

Pour que $\psi$ fût égal à $\psi ',$ il faudrait donc que l’on eût

$\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2\alpha }\,dt}{1+t^{2}}}=0,$

ce qui, comme nous l’avons vu plus haut, n’a pas lieu.

Plus généralement, supposons que $\varphi (y)$ s’annule pour $y=0,$