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EXTENSION DE LA MÉTHODE DE M. BOHLIN.

en effet, pour obtenir l’intégrale complète de (3), il suffit de prendre, en appelant $\mathrm {A} _{0}$ une constante,

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dx}}&=\mathrm {A} _{0}\,;&\mathrm {C} _{0}&=\mathrm {A} _{0}+2h\mu \,;&{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy}}&={\sqrt {2\mu }}{\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}\cdot \end{aligned}}$

$\mathrm {S} _{0}=\mathrm {A} _{0}x+{\sqrt {2\mu }}\int {\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}\,dy.$

Nous retombons en somme, aux notations près, sur l’exemple que nous avons traité au n^o 199. Le cas de $h>0$ correspond au cas ordinaire ; le cas de $h<0$ à celui de la libration ; le cas de $h=0$ au cas limite.

Mettons en évidence les solutions particulières remarquables.

Nous avons d’abord la solution simple

${\begin{aligned}x&=t,&p&=0,&y&=0,&q&=0,\end{aligned}}$

qui est une solution périodique. Voyons quelles sont les solutions asymptotiques correspondantes.

On les obtiendra en faisant $\mathrm {A} _{0}=h=0$ dans $\mathrm {S} _{0},$ ce qui donne

$\mathrm {S} _{0}=\mp 2{\sqrt {2\mu }}\cos {\frac {y}{2}},$

d’où

${\begin{aligned}p&=0,&q&=\pm {\sqrt {2\mu }}\sin {\frac {y}{2}}\,;&\mathrm {tang} {\frac {y}{4}}&=\mathrm {C} e^{\pm t{\sqrt {2\mu }}},&x&=t,\end{aligned}}$

ce qui montre que les exposants caractéristiques sont égaux à $\pm {\sqrt {2\mu }}.$

Calculons maintenant $\mathrm {S} _{1},\,\mathrm {S} _{2},\,\ldots .$

En égalant dans l’équation (2) les coefficients de $\varepsilon ,$ je trouve

${\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dx}}+2{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy}}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy}}=\mu \varphi (y)\cos x+\mathrm {C} _{1},$

$\mathrm {C} _{1}$ étant une constante que je pourrai d’ailleurs supposer nulle sans restreindre la généralité, ou bien

(4)

${\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dx}}+2{\sqrt {2\mu }}{\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}\,{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy}}=\mu \varphi (y)\cos x.$