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EXTENSION DE LA MÉTHODE DE M. BOHLIN.

et divisant par $2\pi \varepsilon ^{2},$

${\frac {k_{1}-\mathrm {R} _{2}}{2k_{0}}}+\varepsilon \,\mathrm {Z} =k_{1}',$

$\mathrm {Z}$ représente une fonction développable suivant les puissances positives de $\varepsilon ,$ des $\xi ,$ des $\eta ,$ des $p$ et des $q.$

En posant enfin

$k_{1}-2k_{0}k_{1}'=\mathrm {K} ,$

il vient

$\mathrm {R} _{2}-2\varepsilon k_{0}\mathrm {Z} =\mathrm {K} .$

La fonction $\mathrm {R} _{2}$ est la même qui a été désignée ainsi page 40 (sauf que les lettres $\xi$ et $\eta$ sont affectées de l’indice 1). Nous pourrons alors définir absolument comme au n^o 131 les variables $\rho _{i}$ et $\omega _{i}$ (en les formant toutefois avec les $\xi _{1}$ et les $\eta _{1}$ au lieu de les former avec les $\xi$ et les $\eta$), et je prendrai pour variables nouvelles

${\begin{array}{rrr}\Lambda _{1},&\Lambda _{1}',&\rho _{i},\\\lambda _{1},&\lambda _{1}',&\omega _{i}.\end{array}}$

Alors $\mathrm {R} _{2}$ se réduit à

$2\mathrm {A} _{1}\rho _{1}+2\mathrm {A} _{2}\rho _{2}+2\mathrm {A} _{3}\rho _{3}+2\mathrm {A} _{4}\rho _{4},$

(Cf. p. 44).

Remplaçons $\rho _{i}$ par ${\frac {d\mathrm {T} _{0}}{d\omega _{i}}},$ nous aurons finalement à intégrer l’équation

(5 ter)

$\Theta \left({\frac {d\mathrm {T} _{0}}{d\omega _{i}}},\omega _{i}\right)=\mathrm {R} _{2}-2\varepsilon k_{0}\mathrm {Z} =\mathrm {K} .$

Le premier membre $\Theta$ est périodique par rapport aux $\omega _{i},$ il est développable suivant les puissances de $\varepsilon$ et, quand on y fait $\varepsilon =0,$ il se réduit à $\mathrm {R} _{2}$ et ne dépend plus des $\omega _{i}$ mais seulement des ${\frac {d\mathrm {T} _{0}}{d\omega _{i}}}\cdot$ Nous pouvons donc appliquer les procédés du n^o 125.

L’intégration de l’équation (5) à laquelle nous avions ramené le problème est donc possible.

Le cas où

$m+m'=\pm 1$pi$\pm 2$

se traiterait d’une manière analogue ; le cas où

$m+m'=0,$