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CHAPITRE X.

canonique des équations n’est pas altérée. Le problème est donc ramené à la recherche des angles $\varphi$ et $\varphi ',$ c’est-à-dire au choix de la substitution orthogonale (5), mais cette recherche revient à l’intégration des équations (A) et (C) de Laplace citées plus haut ; le calcul numérique peut donc être long, mais il a déjà été fait en ce qui concerne le système solaire.

On obtiendra des résultats analogues dans le cas où, au lieu de trois corps, on en considérerait $n+1.$

La fonction $\mathrm {R} _{2}$ serait encore la somme de quatre formes quadratiques, mais chacune de ces quatre formes au lieu de dépendre seulement de deux variables en contiendrait $n.$

Nous aurons alors $n$ variables analogues aux $\xi ,$ $n$ analogues aux $\eta ,$ $n$ analogues aux $p,$ $n$ analogues aux $q.$ Tout se ramènera encore à déterminer une substitution linéaire orthogonale qui, appliquée aux variables $\xi ,$ transforme la première de ces quatre formes quadratiques en une somme de $n$ carrés.

Mais revenons au Problème des trois Corps.

Faisons un dernier changement de variables en posant

${\begin{aligned}\tau _{i}&={\sqrt {2\rho _{i}}}\cos \omega _{i},&\sigma _{i}&={\sqrt {2\rho _{i}}}\sin \omega _{i},\end{aligned}}$

ce qui, d’après le n^o 6, n’altère pas la forme canonique des équations.

$\mathrm {R}$ est alors développable suivant les puissances des ${\sqrt {\rho _{i}}}$ et périodique par rapport aux $\omega _{i}\,;$ on a d’ailleurs

$\mathrm {R} _{2}=2\mathrm {A} _{1}\rho _{1}+2\mathrm {A} _{2}\rho _{2}+2\mathrm {A} _{3}\rho _{3}+2\mathrm {A} _{4}\rho _{4},$

c’est-à-dire que $\mathrm {R} _{2}$ ne dépend pas des $\omega _{i}.$

Application de la méthode du Chapitre IX.

132.Après ces divers changements de variables, nos équations se présentent sous la forme suivante

(2)

${\begin{aligned}{\frac {d\rho _{i}}{dt}}&=-\mu \,{\frac {d\mathrm {R} }{d\omega _{i}}},&{\frac {d\omega _{i}}{dt}}&=\mu \,{\frac {d\mathrm {R} }{d\rho _{i}}}\cdot \end{aligned}}$

Pour pouvoir appliquer à ces équations les méthodes du Chapitre précédent, il faudrait pouvoir développer $\mathrm {R}$ suivant les puissances