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SÉRIES DE M. BOHLIN.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Supposons donc que la fonction $\mathrm {F}$ ne satisfasse pas à ces conditions. Soient $x_{i}$ et $y_{i}$ les anciennes variables, faisons le changement de variables du n^o 210 et soient $x_{i}'$ et $y_{i}'$ les nouvelles variables. On aura

(1)

$\left\{{\begin{aligned}x_{1}&=x_{1}'+\eta ,\qquad y_{1}'=y_{1}+\zeta ,\qquad y_{i}'=y_{i},\\x_{i}&=x_{i}'+\xi _{i}+y_{1}'\,{\frac {d\eta }{dy_{i}}}-x_{1}'\,{\frac {d\zeta }{dy_{i}}}\cdot \end{aligned}}\right.$

(Cf. p. 381.)

Avec les nouvelles variables, les conclusions des deux derniers numéros sont applicables et, par conséquent,

$x_{1}',\quad x_{k}',\quad y_{1}',\quad y_{k}'-w_{k}$

peuvent se représenter par des séries ordonnées suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}$ et des cosinus et sinus des multiples de

$w_{2},\quad w_{3},\quad \ldots ,\quad w_{n}$

et dont les coefficients sont des fonctions uniformes de $w_{1}\,;$ ces fonctions uniformes sont développables suivant les puissances de $e^{\frac {w_{1}}{\alpha }}$ si $w_{1}$ est négatif et suffisamment grand et suivant celles de $e^{-{\frac {w_{1}}{\alpha }}}$ si $w_{1}$ est suffisamment grand.

Des relations (1) qui lient les $x_{i}$ et $y_{i}$ aux $x_{i}'$ et $y_{i}',$ il est donc permis de conclure que

$x_{1},\quad x_{k},\quad y_{1},\quad y_{k}-w_{k}$

sont encore développables en séries de la même forme.

La seule différence, c’est que pour $w_{1}=-\infty ,$ $x_{1}',$ $x_{k}'$ et $y_{1}'$ se réduisent à 0 ; tandis que $x_{1},$ $x_{k}$ et $y_{1}$ ne s’annulent pas.

Quand on fait $w_{1}=-\infty ,$ d’où $e^{\frac {w_{1}}{\alpha }}=0,$ on trouve

(2)

${\begin{aligned}x_{1}&=\varphi _{1},&x_{k}&=\varphi _{k},&y_{1}&=\varphi _{1}',&y_{k}&=w_{k}+\varphi _{k}',\end{aligned}}$

$\varphi _{i}$ et $\varphi _{i}'$ représentant des séries ordonnées suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}$ et les lignes trigonométriques des multiples de

$w_{2},\quad w_{3},\quad \ldots ,\quad w_{n}.$