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CHAPITRE XX.

À cause de la présence du terme logarithmique, quand $y_{1}$ variera de zéro à $2\pi ,$ $w_{1}$ variera de $-\infty$ à $+\infty .$

Donc, quand, donnant aux $y_{k}$ toutes les valeurs possibles, on fera varier $y_{1}$ de zéro à $2\pi ,$ les $w$ prendront toutes les valeurs possibles. De plus, dans ces conditions, nous avons vu que $\Delta$ ne change pas de signe.

Donc les $y$ sont des fonctions uniformes des $w$ pour toutes les valeurs réelles des $w.$ En effet, on peut, en parlant de (11) et de (13) et en appliquant le théorème du n^o 30, développer les $y$ suivant les puissances de

$w_{1}-h_{1},\quad w_{2}-h_{2},\quad \ldots ,\quad w_{n}-h_{n},$

$h_{1},\,h_{2},\,\ldots ,\,h_{n}$ étant des constantes quelconques, puisque le déterminant fonctionnel ne s’annule jamais.

J’ajoute que

$y_{1},\quad y_{2}-w_{2},\quad y_{3}-w_{3},\quad \ldots ,\quad y_{n}-w_{n}$

sont des fonctions périodiques de

$w_{2},\quad w_{3},\quad \ldots ,\quad w_{n}\,;$

et, en effet, quand $y_{k}$ augmente de $2\pi ,$ $w_{k}$ augmente de $2\pi .$ La première équation (2 bis) nous montre ensuite que les $x_{i}$ sont aussi des fonctions uniformes des $w$ périodiques par rapport à

$w_{2},\quad w_{3},\quad \ldots ,\quad w_{n}.$

Quand $w_{1}$ tend vers $\pm \infty ,$ $y_{1}$ tend vers zéro ou vers $2\pi \,;$ il faut voir ce que deviennent les équations (11) et (13) quand on y fait, par exemple,

$w_{1}=\infty ,\qquad y_{1}=0.$

L’équation (13) devient illusoire et l’équation (11) s’écrit

$w_{k}=y_{k}+{\frac {d\mathrm {S} '}{dx_{k}^{0}}}\cdot$

On tire de là $y_{2},$ $y_{3},$ $\ldots ,\,y_{n}$ en fonctions des $n-1$ arguments

$w_{2},\quad w_{3},\quad \ldots ,\quad w_{n}.$

On voit sans peine que $y_{k}-w_{k}$ est périodique par rapport