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CHAPITRE XX.

La fonction $\mathrm {S}$ va donc être de la forme

(10)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {S} =&{\textstyle \sum }\,\left({\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}\right)^{-q}{\begin{array}{c}\cos \\\sin \end{array}}\!\left(\omega \right)\\&+\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{1}\left({\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}\right)^{-q}\,dy_{1}+x_{2}^{0}+x_{3}^{0}+\ldots +x_{n}^{0}y_{n}.\end{aligned}}\right.$

Quand dans cette expression on annule les constantes

$\lambda ,\quad x_{2}^{0},\quad x_{3}^{0},\quad \ldots ,\quad x_{n}^{0},$

$\mathrm {A}$ admet un zéro d’ordre $q+2$ et $\mathrm {A} _{1}$ un zéro d’ordre $q+1$ pour $y_{1}=0\,;$ cela est nécessaire pour que ${\frac {d\mathrm {S} }{dy_{k}}}$ ait un zéro double et ${\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}}$un zéro simple.

Cela posé, nous allons avoir à envisager les équations suivantes, analogues aux équations (2)

(2 bis)

$\left\{{\begin{aligned}x_{i}&={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}},\\[0.75ex]\theta _{1}w_{1}&={\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda }},\\[0.75ex]w_{k}+\theta _{k}w_{1}&={\frac {d\mathrm {S} }{dx_{k}^{0}}}\cdot \end{aligned}}\right.$

Dans ces expressions on devra, après la différentiation, faire

$\lambda =x_{k}^{0}=0.$

Mais on peut aussi, même avant la différentiation, faire

$\lambda =x_{k}^{0}=0$

dans la première équation (2 bis),

$x_{k}^{0}=0$

dans la seconde,

$\lambda =0$

dans la troisième.

L’essentiel est de ne pas annuler avant la différentiation la variable par rapport à laquelle on différentie.

La première équation (2 bis) nous apprend que les $x_{i}$ sont déve-