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SÉRIES DE M. BOHLIN.
de et si, dans les expressions ainsi obtenues, on considère
les et les comme constantes arbitraires et les comme des
fonctions linéaires du temps, on aura les coordonnées et
exprimées en fonctions du temps. C’est ce que nous apprend le
théorème du no 3.
Mais il est préférable de modifier un peu la forme des équations (1)
et d’écrire
(2)
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les étant des fonctions arbitraires de et des
Il est clair que si l’on remplace les équations (1) par les équations (2),
les resteront des fonctions linéaires du temps ; car les
ne dépendant que de et des seront des constantes.
Voici d’ailleurs l’usage que je ferai de ces fonctions arbitraires
je les choisirai de telle sorte que les les et les
soient des fonctions périodiques des de période
Plaçons-nous d’abord dans le premier cas, celui où est toujours
réel et ne s’annule jamais et voyons quelle est la forme des
séries ainsi obtenues.
Dans ce cas, les sont des fonctions des périodiques et
de période quant à c’est une fonction de la forme suivante
étant une fonction périodique des et les étant des fonctions
de et des
De plus, et les sont développables suivant les puissances
de
Comme, d’après les hypothèses faites sur les entiers les
conditions (10) de la page 349 se réduisent à
on aura tout simplement