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SÉRIES DE M. BOHLIN.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

de $\mathrm {C} _{2},$ et si, dans les expressions ainsi obtenues, on considère les $x_{k}^{0}$ et les $\mathrm {C} _{2}$ comme constantes arbitraires et les $w$ comme des fonctions linéaires du temps, on aura les coordonnées $x_{i}$ et $y_{i}$ exprimées en fonctions du temps. C’est ce que nous apprend le théorème du n^o 3.

Mais il est préférable de modifier un peu la forme des équations (1) et d’écrire

(2)

${\begin{aligned}x_{i}&={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}},&\theta _{1}w_{1}&={\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {C} _{2}}},&w_{k}+\theta _{k}w_{1}&={\frac {d\mathrm {S} }{dx_{k}^{0}}},\end{aligned}}$

les $\theta$ étant des fonctions arbitraires de $\mathrm {C} _{2}$ et des $x_{k}^{0}.$

Il est clair que si l’on remplace les équations (1) par les équations (2), les $w$ resteront des fonctions linéaires du temps ; car les $\theta$ ne dépendant que de $\mathrm {C} _{2}$ et des $x_{k}^{0}$ seront des constantes.

Voici d’ailleurs l’usage que je ferai de ces fonctions arbitraires $\theta \,;$ je les choisirai de telle sorte que les $x_{i},$ les $\cos {}y_{i}$ et les $\sin {}y_{i}$ soient des fonctions périodiques des $w$ de période $2\pi .$

Plaçons-nous d’abord dans le premier cas, celui où ${\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}$ est toujours réel et ne s’annule jamais et voyons quelle est la forme des séries ainsi obtenues.

Dans ce cas, les ${\frac {d\mathrm {S} _{q}}{dy_{i}}}$ sont des fonctions des $y$ périodiques et de période $2\pi \,;$ quant à $\mathrm {S} ,$ c’est une fonction de la forme suivante

$\mathrm {S} =\mathrm {S} '+\beta _{1}y_{1}+\beta _{2}y_{2}+\ldots +\beta _{n}y_{n},$

$\mathrm {S} '$ étant une fonction périodique des $y$ et les $\beta$ étant des fonctions de $\mathrm {C} _{2}$ et des $x_{k}^{0}.$

De plus, $\mathrm {S} '$ et les $\beta$ sont développables suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}.$

Comme, d’après les hypothèses faites sur les entiers $m_{i},$ les conditions (10) de la page 349 se réduisent à

$\alpha _{i}^{p}=0\quad (i=2,\,3,\,\ldots ,\,n),$

on aura tout simplement

${\begin{aligned}\beta _{2}&=x_{2}^{0},&\beta _{3}&=x_{3}^{0},&&\ldots ,&\beta _{n}&=x_{n}^{0},&\end{aligned}}$