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SÉRIES DE M. BOHLIN.
zéro, ni d’autre terme du premier degré que des termes en
![{\displaystyle \ldots ,\,x_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac55f02c5a30000841ab0dac767190b87f0748ee)
Si, en effet, cela n’était pas, on ferait le changement de variables
des nos 208 et 210 et on serait ramené au cas où cette supposition
est vraie.
Il résulte de là que, si l’on donne aux constantes arbitraires les
valeurs suivantes
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}x_{2}^{0}&=x_{3}^{0}&=\ldots &=x_{n}^{0}&&=0\quad (\mathrm {d'o{\grave {u}}} \;x_{1}^{0}=\mathrm {C} _{2}=0),\\\mathrm {C} _{2}^{0}&=\mathrm {C} _{4}^{0}&=\ldots &=\mathrm {C} _{6}^{0}&&=0,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a5b759fd243a0292c937e7adf75b1f2b1f65015)
on se trouve précisément dans le cas limite et que la fonction
est. telle que les
ont un zéro simple et les
un zéro
double pour
Il suffit pour s’en convaincre de se rappeler
que, dans le calcul des nos 208 et 210, on est conduit après le changement
de variables à des équations tout à fait analogues aux
équations (3) du no 204 et qui n’en diffèrent que parce que les
lettres y sont accentuées et que les constantes
sont toutes nulles
(Cf. p. 371).
Donnons maintenant aux constantes
d’autres
valeurs voisines de 0. On pourra encore choisir
de telle façon que
soit égal au maximum de
et que, les
conditions (28) du no 207 étant remplies, les fonctions
restent finies.
Les valeurs de
qui satisfont à ces conditions
seront des fonctions holomorphes de
de sorte que
![{\displaystyle \mathrm {C} _{p}=\varphi _{p}\left(x_{2}^{0},x_{3}^{0},\ldots ,x_{n}^{0}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/936151b028555fed38f6b41e98fdb7586fda4174)
Ces fonctions, d’après ce que nous venons de voir, devront s’annuler pour
![{\displaystyle x_{2}^{0}=x_{3}^{0}=\ldots =x_{n}^{0}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63094ca26af5ea49755a43d8b48da0e723d88430)
Nous avons ainsi défini une fonction
dépendant de
constantes arbitraires
![{\displaystyle x_{2}^{0},\quad x_{3}^{0},\quad \ldots ,\quad x_{n}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ed8c5115548879afad6819627d77dc4b9d7fe9a)
Cette fonction est de la forme
(8)
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