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MÉTHODES DE M. BOHLIN.

constante que j’appellerai $\mathrm {A}$ et qui est d’ailleurs développable suivant les puissances de $\mu .$

Posons

$\mathrm {F} '=\mathrm {F} -\mathrm {A} \,;$

$\mathrm {F} '$ sera développable suivant les puissances de $x_{1}',$ $x_{2}'$ et $y_{1}'$ pour les petites valeurs de ces variables ; le développement ne contiendra pas de terme de degré 0, et il ne contiendra d’autre terme du premier degré qu’un terme en $x_{2}'.$ Les coefficients du développement sont des fonctions de $\mu$ et de $y_{2}'.$

Considérons alors l’équation

$\mathrm {F} '\left({\frac {d\mathrm {S} '}{dy_{1}'}},\,{\frac {d\mathrm {S} '}{dy_{2}'}},\,y_{1}',\,y_{2}'\right)=0\,;$

cherchons à y satisfaire en faisant

(33)

$\mathrm {S} '=\mathrm {S} _{0}'+{\sqrt {\mu }}\,\mathrm {S} _{1}'+\mu \,\mathrm {S} _{2}'+\ldots .$

Nous déterminerons par récurrence les fonctions $\mathrm {S} _{p}'$ à l’aide d’équations tout à fait analogues aux équations (3) du n^o 204 et qui n’en diffèrent que parce que les lettres y sont accentuées et que les constantes $\mathrm {C} _{p}$ sont toutes nulles.

Remplaçons dans $\mathrm {F} '$ la fonction $\mathrm {S} '$ par sa valeur (33) et développons ensuite $\mathrm {F} '$ suivant les puissances croissantes de ${\sqrt {\mu }}.$

Soit

$\mathrm {F} '=\psi _{0}+{\sqrt {\mu }}\,\psi _{1}+\mu \,\psi _{2}+\ldots$

ce développement. Alors $\psi _{p}$ va, pour les petites valeurs de $y_{1}',$ $x_{1}'$ et $x_{2}',$ être développable suivant les puissances de $y_{1}',$ des ${\frac {d\mathrm {S} _{q}'}{dy_{1}'}},$ des ${\frac {d\mathrm {S} _{q}'}{dy_{2}'}}\cdot$

Les coefficients du développement seront des fonctions périodiques de $y_{2}'\,;$ mais le point sur lequel je veux attirer l’attention, c’est que le développement ne contiendra pas de terme de degré 0 et que les seuls termes du premier degré seront des termes en

${\frac {d\mathrm {S} _{q}'}{dy_{2}'}}\cdot$