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CHAPITRE XIX.

placer par des développements quelconques procédant suivant les puissances des $\mu .$

Nous remplacerons donc $x_{i}^{0}$ par

$x_{i}^{0}=\mu \,\beta _{1.i}+\mu ^{2}\,\beta _{2.i}+\ldots ,$

les $\beta$ étant des constantes quelconques. La fonction $\mathrm {S}$ à laquelle conduit cette substitution satisfait comme $\mathrm {S} ^{\star }$ à l’équation (4) du n^o 120 ; mais les $\alpha _{i.k}$ ne sont plus nulles et il est clair que l’on peut choisir les arbitraires $\beta$ de façon que les valeurs des $\alpha$ soient tout à fait quelconques. La fonction ainsi obtenue est donc la fonction $\mathrm {S}$ la plus générale.

Revenons à $\mathrm {S} ^{\star }\,;$ cette fonction dépend des $n$ constantes $x_{i}^{0}\,;$ mais, d’autre part, les $n$ moyens mouvements $n_{i}^{0}$ sont aussi des fonctions des $x_{i}^{0},$ et inversement les $x_{i}^{0}$ sont des fonctions des $n_{i}^{0},$ de sorte que nous pourrons considérer $\mathrm {S} ^{\star }$ comme dépendant de $n$ constantes arbitraires

$n_{1}^{0},\quad n_{2}^{0},\quad \ldots ,\quad n_{n}^{0}.$

De quelle manière les fonctions $\mathrm {S} _{p}^{\star }$ dépendent-elles de ces constantes ? Chaque terme de $\mathrm {S} _{p}^{\star }$ contient en facteur le sinus ou le cosinus d’un angle de la forme

$p_{1}y_{1}+p_{2}y_{2}+\ldots +p_{n}y_{n}$(les $p$ entiers)

et le coefficient de ce sinus ou de ce cosinus est égal à une fonction holomorphe des $n_{i}^{0}$ divisée par un produit de facteurs de la forme

$q_{1}n_{1}^{0}+q_{2}n_{2}^{0}+\ldots +q_{n}n_{n}^{0}$(les $q$ entiers).

Ce sont des facteurs que l’on appelle les petits diviseurs.

En raisonnant comme nous l’avons fait au n^o 201, on verrait qu’aucun des termes de $\mathrm {S} _{p}^{\star }$ ne peut contenir plus de $2p-1$ petits diviseurs au dénominateur.

Si l’un de ces petits diviseurs, par exemple

$m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0}+\ldots +m_{n}n_{n}^{0},$

était très petit, la convergence de la série $\mathrm {S} ^{\star }$ deviendrait illusoire ; remplaçons alors comme au n^o 202 les constantes d’intégration $n_{i}^{0}$