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CHAPITRE VIII.

Je suppose que les $f_{i,k}$ soient des fonctions connues de $t$ et de $\mu$ et de plus que ces fonctions soient développables en séries convergentes suivant les puissances croissantes de $\mu .$

Soit $\varphi _{p,k}$ la somme des $p+1$ premiers termes de la série $\mathrm {S} _{k}.$ Je dirai que les séries $\mathrm {S} _{1},$ $\mathrm {S} _{2},$ $\ldots ,$ $\mathrm {S} _{n}$ satisfont formellement aux équations différentielles (3), si, quand on substitue

$\varphi _{p,1},\quad \varphi _{p,2},\quad \ldots ,\quad \varphi _{p,n},\quad$

à la place de

$x_{1},\quad x_{2},\quad \ldots ,\quad x_{n},$

la différence ${\frac {dx_{i}}{dt}}-\mathrm {X} _{i}$ devient divisible par $\mu ^{p+1}.$

Cette définition posée, voici ce que je me propose d’établir : considérons une solution particulière des équations (3), à savoir celle qui est telle que

$x_{1}=x_{2}=\ldots =x_{n}=0$

pour $t=0.$

Soit

${\begin{aligned}x_{1}&=\theta _{1}(t,\mu ),&x_{2}&=\theta _{2}(t,\mu ),&&\ldots ,&x_{n}&=\theta _{n}(t,\mu ).\end{aligned}}$

Je suppose que les fonctions $f_{i,k}$ s’annulent toutes pour $t=0.$

Je dis que l’on aura les égalités asymptotiques suivantes

(4)

${\begin{aligned}\theta _{1}(t,\mu )&\equiv \mathrm {S} _{1},&\theta _{2}(t,\mu )&\equiv \mathrm {S} _{2},&&\ldots ,&\theta _{n}(t,\mu )&\equiv \mathrm {S} _{n}.\end{aligned}}$

En effet, posons

${\begin{aligned}x_{1}&=\varphi _{p,1}+\mu ^{p+1}\xi _{1},&x_{2}&=\varphi _{p,2}+\mu ^{p+1}\xi _{2},&&\ldots ,&x_{n}&=\varphi _{p,n}+\mu ^{p+1}\xi _{n}.\end{aligned}}$

Substituons ces valeurs des $x$ dans les équations (3), ces équations deviendront

$\mu ^{p+1}{\frac {d\xi _{i}}{dt}}=\mathrm {X} _{i}-{\frac {d\varphi _{p,i}}{dt}}\cdot$

Après la substitution, $\mathrm {X} _{i}$ deviendra développable suivant les puissances croissantes de $\mu ,$ de

$\mu ^{p+1}\xi _{1},\quad \mu ^{p+1}\xi _{2},\quad \cdots ,\quad \mu ^{p+1}\xi _{n},$

les coefficients du développement étant des fonctions connues du temps.