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CHAPITRE XIX.
et je verrai que, si l’on développe
suivant les puissances de
des
et de
il n’y aura pas de terme de degré 0 et que les
seuls termes du premier degré seront des termes en
![{\displaystyle \ldots ,\,x_{n}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ebb4143eca371e82c9477e3efbb4c83b668beda)
Considérant alors l’équation
![{\displaystyle \mathrm {F} '\left({\frac {d\mathrm {S} '}{dy_{i}'}},\,y_{1}'\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87c949f129a6f205678fb1d6de4fd92a6680f170)
cherchons à y satisfaire en faisant
![{\displaystyle \mathrm {S} '={\textstyle \sum }\,\mu ^{\frac {p}{2}}\mathrm {S} _{p}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3434fcd7709b44f1ce4b600c87b4f428c1cc8bb8)
et déterminons par récurrence les fonctions ![{\displaystyle \mathrm {S} _{p}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85a2e2349838a1f4a0e24868c183ac864bbcd45b)
Le calcul se poursuivra tout à fait comme au no 208.
Les fonctions
et leurs dérivées seraient encore ici des fonctions
de
et l’on verrait encore ici que ces fonctions ne deviennent
pas infinies pour
au contraire
est un zéro
double pour les
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{q}'}{dy_{i}'}}\quad (i>1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c17489a10c5559974246507045c84789195c79b9)
et un zéro simple pour les ![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{q}'}{dy_{1}'}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b84c02326cff72e83192a3259a4da3f7e71f6840)
Le raisonnement se ferait par récurrence comme au no 208 ; les
équations conservent en effet la même forme. Je n’en reproduirai
pas ici les détails. Remarquons seulement que l’équation analogue
à (34) s’écrit
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}\,{\frac {d\mathrm {S} _{q}'}{dy_{p}'}}=\Phi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4041d1e264cc4443515fd3824cb041dd2377d44)
où
![{\displaystyle \Phi ={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} \cos(m_{2}y_{2}'+\ldots +m_{n}y_{n}'+\omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9ede6f1bf1efa29c1d7e3d77c26c437afa0c084)
est une fonction périodique de
dont la valeur
moyenne est nulle. Les coefficients
et
sont des fonctions de
qui, bien entendu, ne sont pas les mêmes pour les différents
termes ; on en tire
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{q}'}{dy_{k}'}}=\sum {\frac {\mathrm {A} \,m_{k}}{n_{2}^{0}m_{2}+\ldots +n_{n}^{0}m_{n}}}\cos(m_{2}y_{2}'+\ldots +m_{n}y_{n}'+\omega ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/457a3ff8c1a1ccc799ab40401f4fdac3cefdc49b)
Dire que
est un zéro double pour
c’est dire évidem-