Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 2, 1893.djvu/396

382

CHAPITRE XIX.

et je verrai que, si l’on développe $\mathrm {F} '$ suivant les puissances de $x_{1}',$ des $x_{i}'$ et de $y_{1}',$ il n’y aura pas de terme de degré 0 et que les seuls termes du premier degré seront des termes en $x_{2}',$ $x_{3}',$ $\ldots ,\,x_{n}'.$

Considérant alors l’équation

$\mathrm {F} '\left({\frac {d\mathrm {S} '}{dy_{i}'}},\,y_{1}'\right)=0,$

cherchons à y satisfaire en faisant

$\mathrm {S} '={\textstyle \sum }\,\mu ^{\frac {p}{2}}\mathrm {S} _{p}'$

et déterminons par récurrence les fonctions $\mathrm {S} _{p}'.$

Le calcul se poursuivra tout à fait comme au n^o 208.

Les fonctions $\mathrm {S} _{p}'$ et leurs dérivées seraient encore ici des fonctions de $y_{1}'$ et l’on verrait encore ici que ces fonctions ne deviennent pas infinies pour $y_{1}'=0\,;$ au contraire $y_{1}'=0$ est un zéro double pour les

${\frac {d\mathrm {S} _{q}'}{dy_{i}'}}\quad (i>1)$

et un zéro simple pour les ${\frac {d\mathrm {S} _{q}'}{dy_{1}'}}\cdot$

Le raisonnement se ferait par récurrence comme au n^o 208 ; les équations conservent en effet la même forme. Je n’en reproduirai pas ici les détails. Remarquons seulement que l’équation analogue à (34) s’écrit

${\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}\,{\frac {d\mathrm {S} _{q}'}{dy_{p}'}}=\Phi ,$

où

$\Phi ={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} \cos(m_{2}y_{2}'+\ldots +m_{n}y_{n}'+\omega )$

est une fonction périodique de $y_{2},$ $y_{3},$ $\ldots ,\,y_{n}$ dont la valeur moyenne est nulle. Les coefficients $\mathrm {A}$ et $\omega$ sont des fonctions de $y_{1}$ qui, bien entendu, ne sont pas les mêmes pour les différents termes ; on en tire

${\frac {d\mathrm {S} _{q}'}{dy_{k}'}}=\sum {\frac {\mathrm {A} \,m_{k}}{n_{2}^{0}m_{2}+\ldots +n_{n}^{0}m_{n}}}\cos(m_{2}y_{2}'+\ldots +m_{n}y_{n}'+\omega ).$

Dire que $y_{1}'=0$ est un zéro double pour $\Phi ,$ c’est dire évidem-