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CHAPITRE XIX.

Nous allons donc avoir à déterminer

par des équations

(34)

analogues à (14) et à déterminer par des équations

(35)

analogues à (15), les constantes analogues aux étant toutes nulles.

Les fonctions et qui entrent dans les seconds membres de (34) et de (35) peuvent être développées suivant les puissances de et les seuls termes du premier degré sont des termes en

Je dis que non seulement la valeur n’est pas un infini pour les et les mais que c’est un zéro, a savoir un zéro simple pour les et un zéro double pour les

En effet, démontrons ce théorème par récurrence et supposons qu’il soit déjà vrai pour les fonctions déjà connues.

Alors la fonction de l’équation (34) admettra la valeur comme zéro double ; et en effet cette valeur est un zéro simple pour chacun des facteurs des termes de degré plus grand que 1 du développement de suivant les puissances de des et des et d’autre part les termes du premier degré de ce développement dépendent des dérivées pour lesquelles est un zéro double.

Il résulte de là et de l’équation (34) que est un zéro double pour

et par conséquent pour