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CAS DES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$\mathrm {B}$ étant une somme de termes très petits, que l’on peut transformer par les procédés des n^os 170 à 172, de sorte que nous pouvons supposer qu’ils ne contiennent que $\rho$ et $v_{0}.$

C’est donc cette équation (2) que nous allons étudier.

Une remarque est nécessaire avant d’aller plus loin.

Considérons l’équation (1) du n^o 191 ; nous nous sommes efforcé de développer la solution de cette équation suivant les puissances de $\alpha \,;$ dans le Chapitre XVI nous n’avions pas posé le problème tout à fait de la même manière ; nous avions dit qu’il fallait dans le second membre de cette équation remplacer $x$ d’abord par 0, puis par sa première valeur approchée et ainsi de suite.

Mais il est aisé de voir que ces deux modes d’approximation reviennent au même ; si en effet nous faisons dans cette équation $\alpha =0,$ elle se réduit à

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x(q^{2}-q_{1}\cos 2t)=0$

et elle admet alors pour solution particulière $x=0,$ ce qui est bien la valeur de $x$ que nous avions admise en première approximation ; de même avec l’équation (6 c) du n^o 169 que l’on peut écrire

${\frac {d^{2}\rho }{dv_{0}^{2}}}+\mathrm {A} \,\rho -\mathrm {C} \,\rho ^{3}=\alpha f(\rho ,v_{0}).$

Si l’on fait $\alpha =0,$ l’équation admet comme solution particulière $\rho =0\,;$ or au Chapitre XVI nous avons précisément admis comme première approximation $\rho =0.$

Les deux modes d’approximation sont donc encore équivalents.

Il n’en est plus tout à fait de même en ce qui concerne l’équation (1) du présent numéro que nous avons écrite

${\frac {d^{2}\mathrm {V} }{dv_{0}^{2}}}-{\frac {\mathrm {C} }{m}}\sin \mathrm {V} =\alpha \,\varphi (\mathrm {V} ,v_{0}).$

Si l’on fait $\alpha =0,$ elle se réduit à

(3)

${\frac {d^{2}\mathrm {V} }{dv_{0}^{2}}}-{\frac {\mathrm {C} }{m}}\sin \mathrm {V} =0$

et elle admet évidemment comme solution particulière $\mathrm {V} =0.$