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CAS DES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES.

Équation de l’évection.

191.Appliquons les considérations qui précèdent à l’intégration par approximations successives de l’équation

(1)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x(q^{2}-q_{1}\cos 2t)=\alpha \,\varphi (x,t).$

$\alpha$ est un coefficient très petit, $\varphi (x,t)$ est une fonction connue de $x$ et de $t$ dont les termes sont tous de la forme

$\mathrm {A} \,x^{p}\cos \lambda t+\mu ,$

$p$ est un entier, $\mathrm {A} ,\,\lambda$ et $\mu$ sont des constantes quelconques.

Je vais écrire cette équation sous la forme

(2)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x\left[q^{2}+\beta +(-q_{1}+\gamma )\cos 2t\right]=\beta x+\gamma x\cos 2t+\alpha \varphi ,$

$\beta$ et $\gamma$ étant des constantes très petites dont je me réserve de déterminer plus loin la valeur en la modifiant à chaque approximation.

Comme première approximation je ferai

${\begin{aligned}\beta &=\gamma =0,&\varphi &=\varphi (0,t).\end{aligned}}$

J’obtiendrai ainsi une équation de même forme que l’équation (1) du numéro précédent et elle me donnera une première valeur approchée de $x$ que j’appellerai $\xi _{1}\,;$ je désignerai par $h_{1}$ la valeur correspondante du nombre $h.$

La fonction $\xi _{1}$ conservera sa forme trigonométrique et ne contiendra pas de terme séculaire, parce qu’en général aucune des différences ${\frac {\lambda -h_{1}}{2}}$ ne sera entière.

Pour la seconde approximation il faut faire

$\varphi =\varphi (\xi _{1},t).$

Mais si l’on conservait à $\beta$ et à $\gamma$ la valeur zéro, les développements de $x_{1}\varphi$ et de $x_{2}\varphi$ contiendraient des termes tout connus et le temps sortirait, d’après ce que nous avons vu plus haut, des signes trigonométriques.