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CAS DES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES.

Mais voyons maintenant la chose d’un peu plus près. La difficulté provient de ce que le coefficient de $\rho$ est voisin de 1 ; ou bien encore de ce que ce coefficient de $\rho$ se réduit à 1 quand les masses perturbatrices sont nulles.

Quand les masses perturbatrices sont nulles en effet, le mouvement devient képlérien et les équations du mouvement se réduisent à

${\begin{aligned}v&=v_{0},&{\frac {d^{2}u}{dv_{0}^{2}}}+u&=0.\end{aligned}}$

Si les masses perturbatrices restant nulles, les deux planètes eussent été attirées par un astre central, mais suivant toute autre loi que celle de Newton, ces équations seraient devenues

${\begin{aligned}v&=v_{0},&{\frac {d^{2}u}{dv_{0}^{2}}}+\varphi (u)&=0,\end{aligned}}$

$\varphi (u)$ étant une fonction de $u$ dépendant de la loi d’attraction.

Posons ensuite, comme au n^o 169,

$u=u_{1}+\rho ,$

$u_{1}$ étant une fonction connue de $v_{0}$ peu différente de $u,$ et négligeons les puissances supérieures de $\rho ,$ l’équation deviendra

${\frac {d^{2}\varphi }{dv_{0}^{2}}}+\varphi '(u_{1})\rho =\mathrm {A} ,$

$\varphi '$ étant la dérivée de $\varphi$ et $\mathrm {A}$ une fonction connue de $v_{0},$ ainsi que $\varphi '(u_{1}).$

Si, par exemple, $u_{1}$ était une constante, ou si $\varphi (u)$ était une fonction linéaire, $\varphi '(u_{1})$ est une constante généralement différente de 1, de sorte que la difficulté que nous venons de rencontrer ne se présenterait pas.

Ainsi la difficulté qui nous a obligé à faire passer le terme en $q,$ dans le premier membre n’existe pas avec toute autre loi que celle de Newton.

Cela tient à ce que, si l’on adopte la loi de Newton et si les masses perturbatrices sont toujours supposées nulles, les périhélies sont fixes, ce qui n’est plus vrai avec toute autre loi d’attraction.

C’est ce que j’ai déjà fait observer au début du Chapitre XI.