rencontrons. L’ennui est de recommencer à chaque approximation et de s’y reprendre à plusieurs fois.
Voyons maintenant quel est l’écueil que l’on a à redouter quand on emploie ces procédés imités des méthodes anciennes, et quels sont les artifices qu’a employés M. Gyldén pour l’éviter.
Les équations (5) et (6), quand on y a remplacé dans les seconds membres et en fonctions de deviennent des équations linéaires à second membre et sont faciles à intégrer.
À la première approximation, ces seconds membres se présenteront sous la forme de séries trigonométriques dont les termes dépendront des sinus et des cosinus de
où et sont des entiers et le rapport des moyens mouvements. Si le second membre de (5) ne contenait pas de terme connu, ou si celui de (6) ne contenait pas de terme en ou en les valeurs de et de tirées de (5) et de (6) seraient encore de même forme. Mais les seconds membres de (5) et de (6) contiennent précisément des termes tout connus, des termes en et et il résultera dans l’expression de un terme en
et dans celle de des termes en
où la variable indépendante sortira des signes trigonométriques.
Aux approximations suivantes, il est clair qu’on trouverait en dehors de ces signes des puissances plus élevées encore de Ainsi, comme il était aisé de le prévoir, l’emploi de la variable n’a rien changé au caractère essentiel des anciennes méthodes, et c’est à un autre artifice qu’il faut avoir recours si l’on veut éviter que la variable sorte des signes trigonométriques.
Le seul avantage du choix de à côté des inconvénients que nous avons signalés, est donc d’avoir donné aux équations la forme linéaire.
169.Pour éviter les termes séculaires, c’est-à-dire ceux où