Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 2, 1893.djvu/221

207

MÉTHODES DE M. GYLDÉN.

rencontrons. L’ennui est de recommencer à chaque approximation et de s’y reprendre à plusieurs fois.

Voyons maintenant quel est l’écueil que l’on a à redouter quand on emploie ces procédés imités des méthodes anciennes, et quels sont les artifices qu’a employés M. Gyldén pour l’éviter.

Les équations (5) et (6), quand on y a remplacé dans les seconds membres $u,$ $v,$ $u'$ et $v'$ en fonctions de $v_{0},$ deviennent des équations linéaires à second membre et sont faciles à intégrer.

À la première approximation, ces seconds membres se présenteront sous la forme de séries trigonométriques dont les termes dépendront des sinus et des cosinus de

$\left(n+mk\right)v_{0},$

où $n$ et $m$ sont des entiers et $k$ le rapport des moyens mouvements. Si le second membre de (5) ne contenait pas de terme connu, ou si celui de (6) ne contenait pas de terme en $\sin v_{0}$ ou en $\cos v_{0},$ les valeurs de $u$ et de $v$ tirées de (5) et de (6) seraient encore de même forme. Mais les seconds membres de (5) et de (6) contiennent précisément des termes tout connus, des termes en $\sin v_{0}$ et $\cos v_{0},$ et il résultera dans l’expression de $v$ un terme en

$v_{0}^{2}$

et dans celle de $u$ des termes en

$v_{0}\cos v_{0}\quad$ et $\quad v_{0}\sin v_{0},$

où la variable indépendante $v_{0}$ sortira des signes trigonométriques.

Aux approximations suivantes, il est clair qu’on trouverait en dehors de ces signes des puissances plus élevées encore de $v_{0}.$ Ainsi, comme il était aisé de le prévoir, l’emploi de la variable $v_{0}$ n’a rien changé au caractère essentiel des anciennes méthodes, et c’est à un autre artifice qu’il faut avoir recours si l’on veut éviter que la variable sorte des signes trigonométriques.

Le seul avantage du choix de $v_{0},$ à côté des inconvénients que nous avons signalés, est donc d’avoir donné aux équations la forme linéaire.

169.Pour éviter les termes séculaires, c’est-à-dire ceux où $v_{0}$