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CAS DES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES.
et supposons que dans
dans
et dans le terme
on ait
remplacé partout
par
de telle façon que les deux membres
de (6) deviennent des fonctions de
de
et des
périodiques de période
par rapport aux ![{\displaystyle y_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a10abf596a91b652cab0eac357d5200fb3545cab)
Introduisons
variables auxiliaires
![{\displaystyle x_{2},\quad x_{3},\quad \ldots ,\quad x_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19177fe3bbeefdca74ba25d1d1cfc0aa0ded8f4d)
et posons
![{\displaystyle \mathrm {F} ={\frac {y^{2}}{2}}-\alpha \psi +{\frac {x^{2}}{2}}(q^{2}-q_{1}\cos y_{2})+{\textstyle \sum }\,\lambda _{i}x_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f5e4e6385a0185dec7cd0a153d1f7f8e00882d1)
Nous pourrons remplacer l’équation (6) par le système d’équations
canoniques
(7)
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Si nous posons ensuite (Cf. no 181)
![{\displaystyle {\begin{aligned}c&={\frac {1}{q}}{\sqrt {2x_{1}}}\cos y_{1},&y&=q{\sqrt {2x_{1}}}\sin y_{1},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b9d98b33fbcaa3a2f422b4d6f367dc011f63073)
l’expression
![{\displaystyle x\,dy-x_{1}\,dy_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a47e6c0c8ad1e624479dae2b59ecc2b6d0a1b3e)
sera une différentielle exacte ; la forme canonique des équations
ne sera donc pas altérée si nous prenons pour variables
![{\displaystyle (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e96aca4456b78b896a875a828ea8c8b5358a185)
sera d’ailleurs périodique par rapport à
et il viendra
![{\displaystyle q^{2}x^{2}+y^{2}=2qx_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9101dda5ecdd31a76161737cd5327046164f3ce3)
C’est le petit paramètre
qui joue ici le rôle de
et l’on voit
que
est développé suivant les puissances de ![{\displaystyle \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794850adc0db51d11a6d8cfa857538183424909c)
Si nous faisons
se réduira à
![{\displaystyle \mathrm {F} _{0}=qx_{1}-{\frac {q_{1}}{q^{2}}}\,x_{1}\cos ^{2}y_{1}\cos y_{2}-{\textstyle \sum }\,\lambda _{i}x_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5578ca0c58276dea3c3612e49b6d4487452e6a2b)
Nous pourrons trouver une fonction
dépendant de
con-