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CAS DES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

et supposons que dans $\varphi ,$ dans $\psi$ et dans le terme $q_{1}\cos 2t$ on ait remplacé partout $\lambda _{i}t$ par $y_{i}$ de telle façon que les deux membres de (6) deviennent des fonctions de $x,$ de ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$ et des $y_{i},$ périodiques de période $2\pi$ par rapport aux $y_{i}.$

Introduisons $n-1$ variables auxiliaires

$x_{2},\quad x_{3},\quad \ldots ,\quad x_{n},$

et posons

$\mathrm {F} ={\frac {y^{2}}{2}}-\alpha \psi +{\frac {x^{2}}{2}}(q^{2}-q_{1}\cos y_{2})+{\textstyle \sum }\,\lambda _{i}x_{i}.$

Nous pourrons remplacer l’équation (6) par le système d’équations canoniques

(7)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy}},&{\frac {dy}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx}},\\{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}&(i&=2,\,3,\,\ldots ,\,n).\end{aligned}}\right.$

Si nous posons ensuite (Cf. n^o 181)

${\begin{aligned}c&={\frac {1}{q}}{\sqrt {2x_{1}}}\cos y_{1},&y&=q{\sqrt {2x_{1}}}\sin y_{1},\end{aligned}}$

l’expression

$x\,dy-x_{1}\,dy_{1}$

sera une différentielle exacte ; la forme canonique des équations ne sera donc pas altérée si nous prenons pour variables $x_{i},y_{i}$ $(i=1,\,2,\,\ldots ,\,n).$

$\mathrm {F}$ sera d’ailleurs périodique par rapport à $y_{1},$ $y_{2},\,\ldots ,$ $y_{n},$ et il viendra

$q^{2}x^{2}+y^{2}=2qx_{1}.$

C’est le petit paramètre $\alpha$ qui joue ici le rôle de $\mu$ et l’on voit que $\mathrm {F}$ est développé suivant les puissances de $\alpha .$

Si nous faisons $\alpha =0,$ $\mathrm {F}$ se réduira à

$\mathrm {F} _{0}=qx_{1}-{\frac {q_{1}}{q^{2}}}\,x_{1}\cos ^{2}y_{1}\cos y_{2}-{\textstyle \sum }\,\lambda _{i}x_{i}.$

Nous pourrons trouver une fonction $\mathrm {S}$ dépendant de $n$ con-