Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 2, 1893.djvu/261

247

CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.

$f(\pi )=0.$ Mais alors

$\left(\mathrm {A} _{n}-\mathrm {A} _{-n-p}\right)^{2}f(\pi )$

restera fini. Les développements de

$\mathrm {A} _{n}+\mathrm {A} _{-n-p}\quad$ et $\quad \left(\mathrm {A} _{n}-\mathrm {A} _{-n-p}\right)^{2}f(\pi )$

seront donc beaucoup plus convergents que ceux de $A_{n}$ et $A_{-n-p}.$ On aura donc avantage à s’en servir et à en tirer ensuite $\mathrm {A} _{n}$ et $\mathrm {A} _{-n-p}-n-p$ par une équation du second degré.

Observons, en terminant, que la discussion de la forme des courbes $\mathrm {C}$ et $\mathrm {C} '$ dans le voisinage des points

$q=n,\quad q_{1}=0$

sera singulièrement facilitée si l’on se sert du développement de $\mathrm {F} '(\pi )$ et de $f(\pi )$ au lieu de celui de $\mathrm {F} (\pi ).$

Ce qui précède constitue la théorie complète de notre équation (1). Je dois toutefois parler des diverses méthodes qui ont été proposées pour l’intégrer et qui sont celle qui est fondée sur l’application des théorèmes de Jacobi, et celles de MM. Gyldén, Bruns, Hill et Lindstedt.

Méthode de Jacobi.

181.On peut appliquer à l’équation (1) la méthode exposée en détail au Chapitre IX avec cette différence que les séries seraient certainement convergentes. L’équation (1) rentre en effet comme cas particulier dans l’équation (3) du n^o 2. Or nous avons vu que cette équation du n^o 2 pouvait être ramenée à la forme canonique des équations de Jacobi.

Si donc nous posons

${\begin{aligned}x&={\sqrt {\frac {2x_{1}}{q}}}\sin y_{1},&{\frac {dx}{dt}}&={\sqrt {2qx_{1}}}\cos y_{1},&y_{2}&=t,&q&=\mu q_{1}\end{aligned}}$

et

$\mathrm {F} =-qx_{1}-x_{2}+\mu x_{1}\sin ^{2}y_{1}\cos 2y_{2},$

l’équation

(1)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+q^{2}x=q_{1}x\cos 2t$